Beispiel. 
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Kapitel 12, §§ 3, 4. 
klar, dass die Schnittlinie der beiden invarianten von je oo 1 Bahn- 
cnrven erzeugten Flächen 
=== &lf ^2 l== ^2 
eine Bahncurve ist, denn die Bahncurve eines Punktes dieser Schnitt 
linie muss sowohl der einen als auch der anderen Fläche angeboren. 
Ausnahmsweise kann es natürlich allerdings auch verkommen, dass 
alle Punkte der Schnittlinie einzeln invariant sind. Dann ist sie 
natürlich eine bei der Gruppe invariante Curve der zweiten oder 
dritten Art des Theorems 18. 
Beispiel: Bei der Gruppe von oo 1 Rotationen um die z-Axe: 
& x = x cos t — y sin t, 
* Vi — x sin t -f- y cos t, 
*x = 
deren infinitesimale Transformation ist: 
JT r df , 
Vf— 
sind die Invarianten Lösungen der Differentialgleichung 
df - df n 
— V ö— & ir“ == 0. 
J ox 1 dy 
Zwei unabhängige Lösungen derselben sind: 
^ + y 2 , &2 = *, 
und jede andere Lösung ist, wie bekannt, eine Function dieser beiden. 
Mithin wird eine von Bahncurven der Gruppe erzeugte invariante 
Fläche in allgemeinster Weise dargestellt durch 
0{x 2 -f- y 2 , z) — 0 
oder: 
« = (p{x 2 + y 2 ). 
Es ist dies die allgemeine Gleichung einer Rotationsfläche um die 
z-Axe. Zwei solche Rotationsflächen schneiden sich, wenn sie sich 
überhaupt treffen, in einem Kreise, dessen Ebene zur ,0-Axe senkrecht 
ist und dessen Mittelpunkt auf der z-Axe liegt. In der That ist jeder 
derartige Kreis Bahncurve. Eine aus lauter einzeln invarianten Punkten 
bestehende Fläche giebt es hier nicht, denn nur die Punkte x — y = 0 
der z-Axe sind invariant. 
§ 4. Analytische Kriterien für die Invarianz einer Curve oder 
Fläche bei einer eingliedrigen Gruppe des Raumes. 
In dem vorangehenden Paragraphen bestimmten wir alle Flächen 
und Curven, die bei allen Transformationen einer eingliedrigen Gruppe 
invariant bleiben. Wir fanden zwei Arten invarianter Curven, nämlich