Analytische Kriterien für die Invarianz einer Curve oder Fläche. 251 
Diese Bedingung ist nun aber aucb hinreichend. Zum Nachweis 
dieser Behauptung deuten wir sie geometrisch. Es soll 
sein für alle Punkte der Fläche. Da wir nach den vorangeschickten 
Bemerkungen voraussetzen dürfen, dass nicht für alle Punkte der 
8 (O c CO 8 CO 
8x’ 8y’ 8z 
Fläche die Differentialquotienten 
gleichzeitig verschwinden, 
so sagt diese Gleichung aus, dass entweder £ == 17 = £ = 0 ist für alle 
Punkte der Fläche, d. h. alle Punkte der Fläche einzeln invariant 
sind (nach § 3) — und dann ist auch die ganze Fläche invariant —, 
oder aber dass für einen allgemein gewählten Punkt der Fläche 
%, y, t proportional den Richtungscosinus einer Tangente der Fläche 
dco 8 co, 8co 
8x’ 8y’ 8z 
sind proportional den Rich- 
in diesem Punkte sind, denn 75— 
1 /Iw 
tungscosinus der Flächennormale des Punktes. In diesem Palle ent 
hält also die Fläche die Richtungen, welche die infinitesimale Trans 
formation TJf der Gruppe ihren Punkten zuordnet, und folglich auch 
die Bahneurven dieser Punkte (vgl. Satz 4 des § 2). Die Fläche ist 
daher von oo 1 Bahneurven erzeugt und invariant. 
Also können wir sagen: 
Satz 8: Eine Fläche oder Gleichung co {x, y, z) = 0 gestattet alle 
Transformationen der von Uf erzeugten eingliedrigen Gruppe des Baumes 
dann und nur dann, wenn üco — 0 ist für alle Funkte der Fläche, 
resp. Wertsysteme der Gleichung, vorausgesetzt, dass die Gleichung so ge 
wählt ist, dass nicht etwa ~— 
sämtlich vermöge co = 0 ver 
schwinden. 
An dieses Kriterium knüpfen wir noch einige Bemerkungen au. 
Da hiernach das Verschwinden von Uco vermöge co = 0 eine rein 
begriffliche Deutung hat, nämlich die, dass co = 0 eine bei der Gruppe 
invariante Fläche ist, und da diese Deutung von der Wahl der Ver 
änderlichen und der speciellen analytischen Darstellungsform der Fläche 
unabhängig ist, so folgt: 
Satz 9: Ist bei einer infinitesimalen Transformation üf in drei 
Veränderlichen x, y, z der Ausdruck Uco (x, y,z) — 0 vermöge co (x, y, z) = 0, 
so gilt das Entsprechende auch bei Einführung anderer Veränderlicher 
und unabhängig von der Darstellungsform der Gleichung co = 0, voraus 
gesetzt nur, dass nicht mit co auch die partiellen Differentialquotienten 
von co nach den drei Veränderlichen sämtlich verschwinden. Natürlich