Analytische Kriterien für die Invarianz einer Curve oder Fläche. 253 
zweiten der vorangeschickten Bemerkungen annehmen dürfen, dass 
die zweireihigen Unterdeterminanten der Matrix 
dm. 
8 CO, 
8(0, 
dx 
dy 
dz 
du* 
d(o 2 
dco s 
dx 
dy 
dz 
nicht sämtlich für alle Punkte der Curve verschwinden, so sind die 
Grössen 
dm. 
dm, 
dm, 
Ex > 
dy ’ 
dz 
und 
Öco 2 
dco 2 
dm 2 
dx ’ 
dy ’ 
dz 
proportional den Richtungcosinus zweier verschiedener Normalen der 
Curve. Die Gleichungen (6) sagen demnach in dem zweiten Falle, 
dass rj und £ nicht für alle Punkte der Curve verschwinden, das 
aus, dass £, r], £ den Richtungscosinus der zu diesen beiden Normalen 
senkrechten Geraden, d. h. der Curventangente, proportional sind. Die 
Curve hat also in jedem ihrer Punkte die demselben von der infini 
tesimalen Transformation Uf der Gruppe zugeordnete Richtung, mit 
anderen Worten: sie ist Bahncurve (vgl. Satz 4 des § 2) und als 
solche invariant. 
Satz 11: Eine Curve 
0»; y,z) = 0 > «2 0> y, *) = 0 
gestattet dann und nur dann alle Transformationen der von Uf erzeugten 
eingliedrigen Gruppe des Raumes, wenn Uco l und Uco 2 für alle Punkte 
der Curve verschwinden, vorausgesetzt, dass die Gleichungen der Curve 
so gewählt sind, dass nicht etwa alle zweireihigen Unterdeterminanten 
der Matrix 
dm, 
dm. 
dm, 
dx 
dy 
dz 
d_m ± 
dm 2 
drn 2 
dx 
dy 
dz 
für alle Punkte der Curve verschwinden. 
Wie oben beim Satze über die Invarianz einer Fläche bemerken 
wir auch hier, dass, da nach dem eben gefundenen Satze das Ver 
schwinden von Uo 1 und Uco 2 vermöge = <u 2 — 0 eine rein begriff 
liche Bedeutung hat, dies Verschwinden unabhängig ist von der 
Wahl der Veränderlichen und der speciellen Darstellungsform der 
Curve. Also: 
Satz 12: Ist hei einer infinitesimalen Transformation Uf in x, y, z 
sowohl Uco 1 (x, y, z) als auch Uco 2 {x,y, z) gleich Null vermöge