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Kapitel 12, §§ 4, 5. 
»i<Ä V; *) = ft *) = 0, • 
so gilt das Entsprechende, wenn neue Veränderliche eingeführt werden, 
und hei jeder Darstellungsform des Gleichungssystems (o 1 — co 2 = 0, 
vorausgesetzt, dass diese Darstellungsform nicht etwa so gewählt ist, dass 
die Differentialquotienten von oj 1 nach den drei Veränderlichen denen von 
oj 2 nach denselben proportional werden vermöge co 1 = co 2 = 0. 
Die Redeweise: eine Curve co 1 = <a 2 = 0 gestattet die infinitesi 
male Transformation JJf, sobald Uco 1 = Uco 2 = 0 ist für alle Punkte 
der Curve, liegt auch hier ausserordentlich nahe, da wir ja das Kri 
terium zunächst als notwendiges ableiteten, indem wir in den Reihen 
entwickelungen (5) nur die ersten Glieder berücksichtigten. Deshalb 
sprechen wir Satz 11 auch so aus: 
Satz 13: Eine Curve gestattet die von der infinitesimalen Transfor 
mation Uf erzeugte eingliedrige Gruppe des Baumes, sobald sie diese 
infinitesimale Transformation Uf zidässt. 
§ 5. Einige geometrische Beispiele. 
Im Anschluss an die auseinandergesetzten Theorien wollen wir 
beispielsweise alle Curven und Flächen bestimmen, welche die von 
einer infinitesimalen projectiven Transformation erzeugte eingliedrige 
Gruppe gestatten. Unter einer projectiven Transformation des Raumes 
versteht man eine solche, welche jeden Punkt des Raumes in einen 
Punkt und alle Punkte einer beliebigen Ebene des Raumes wieder in 
die Punkte einer Ebene, also auch alle Punkte einer Geraden — als 
der Schnittlinie zweier Ebenen — wieder in die Punkte einer Geraden 
überführt. Man kann zeigen — worauf wir jedoch hier nicht ein- 
gehen — dass es unter diesen projectiven Transformationen auch 
solche giebt, welche vier ein Tetraeder bildende Punkte in Ruhe lassen. 
Wir wählen einen dieser Punkte zum Anfang und die drei anderen 
als die unendlich fernen Punkte der drei Äsen. Man findet dann, 
dass das Symbol einer derartigen infinitesimalen projectiven Trans 
formation die Form annimmt: 
T j /• df , ß df - df 
üf=ccx Fx + ßy-^y + yz-^, 
wie wir ohne nähere Begründung bemerken. (Vgl. die verwandte 
Betrachtung in § 4 des 4. Kap.) 
Wir wollen also die bei dieser infinitesimalen Transformation Uf 
oder, was nach Satz 10 und 13 des vorigen Paragraphen dasselbe ist, 
die bei der eingliedrigen Gruppe Uf invarianten Curven und Flächen 
aufsucheu.