Einige geometrische Beispiele. 
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Die endlichen Gleichungen unserer Gruppe ergeben sich durch 
Integration des simultanen Systems 
d T.. dti d a 
ax 1 py x yz 1 
in der Form 
x x = xe at , y x = yeP*, z x = 
Daher ergeben sich die Bahncurven durch Elimination von t aus: Bahncurven 
P 777 T Ill'd! 
e. inf. proj. 
Trf. des 
Baumes. 
æ .= x Q e at , y = y Q eß*, e = e 0 &* 
in der Form: 
i 
i 
i 
Z \ Y 
oder in der Form: 
i 
i 
x a — ÄyP = Bz? 
und sind im allgemeinen transcendente Curven. Bei besonderer Wahl 
der im Symbol TJf auftretenden Constanten a, ß, y sind sie jedoch 
algebraisch, so für cc = 1, /3 = 2, y = 3 die Raumcurven dritter 
Ordnung: 
y = Const, x 2 , 8 = Const. x B . 
Um sich eine Vorstellung vom Verlauf der Bahncurven unserer ein 
gliedrigen Gruppe Uf zu machen, erweist sich folgende Bemerkung 
als nützlich. Die Gleichung 
OCX 2 -f- ßy 2 -f- yz l = Const. 
stellt oo 1 einander ähnliche und ähnlich gelegene Flächen zweiten 
Grades mit gemeinsamem Mittelpunkt dar, deren Axen die Coordi- 
natenaxen sind. Die Grössen ax, ßy, ys sind proportional den Rich 
tungscosinus der Normalen der durch den Punkt (x, y, z) gehenden 
Fläche aus dieser Schar. Mithin sind die oo 2 Curven, welche alle 
jene oo 1 Flächen senkrecht treffen, die Integralcurven des simultanen 
Systemes 
dx cly dz 
ax ßy yz 
also die Bahncurven unserer Gruppe*). 
*) Allgemeine Untersuchungen über gewundene Curven und Flächen, welche 
unendlich viele vertauschbare projective Transformationen gestatten, wurden zu 
erst angestellt von Klein und Lie in den Comptes rendus 1870 sowie im dritten 
Bande der Mathematischen Annalen. Sodann gab Lie die Bestimmung aller 
Flächen, welche eine continuierliche projective Gruppe gestatten. — Die im 
Text gegebene einfache geometrische Definition aller gewundenen Curven, die 
eine allgemeine infinitesimale projective Transformation gestatten, röhrt von 
Scheffers her.