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Kapitel 12, § 5. 
Bei einer 
inf. proj. 
Trf. in 
variante 
Flächen. 
Ausser den Bahncurven könnte es noch invariante Curven geben, 
die aus lauter invarianten Punkten bestehen. Aber da wegen 
TT r df , o df i df 
U f= aX dü + ^^ +? g Tz 
für diese Punkte die Bedingungen 
ccx = ßy — yz — 0 
bestehen, so ist klar, dass es im Endlichen nur einen invarianten 
Punkt, nämlich den Anfang, giebt, sobald a, ß, y alle drei verschieden 
von Null sind. Ist nur eine dieser Constanten gleich Null, etwa y, 
so bleiben alle Punkte der z-Axe einzeln in Ruhe. Die z-Axe ist 
dann die einzige invariante Curve der gesuchten Art. Sind zwei Con 
stanten gleich Null, etwa ß und y, so bleiben alle Punkte der (yz)~ 
Ebene in Ruhe. Jede in dieser Ebene gezogene Curve ist dann in 
variant. 
Wir fragen nun nach den bei unserer eingliedrigen projectiven 
Gruppe Uf invarianten Flächen. 
Zunächst giebt es eine aus lauter invarianten Punkten bestehende 
Fläche nach unseren letzten Bemerkungen nur dann, wenn zwei der 
Constanten a, ß, y, etwa ß und y, verschwinden. Es ist dann die 
Ebene x — 0. 
Um sonstige invariante Flächen zu construieren, haben wir oo 1 
Bahncurven zu einer Fläche zusammenzufassen. Nun lassen sich die 
Gleichungen einer Bahncurve so schreiben: 
£ 
y — ax a , z — hx a , 
sobald, wie wir annehmen dürfen, a 4= 0 ist. Hier sind —, — durch 
die infinitesimale Transformation üf gegebene bestimmte Zahlen, a 
und h dagegen können beliebig angenommen Werden. Man erhält ins 
besondere oo 1 Bahncurven, wenn man zwischen a und h eine Relation 
festsetzt: 
h — (p (a) . 
Alsdann erfüllen diese oo 1 Curven die Fläche: 
oder: 
Y_ 
8 = X a 1p (y a • X~ß) . 
Dies ist also die allgemeine Gleichung einer bei allen Transformationen 
der vorgelegten eingliedrigen projectiven Gruppe invarianten Fläche.