Erweiterung einer eingliedr. Gruppe von Punkttransformationen d. Ebene. 267 
(9) x 2 = <P 0, y» *0 » V* = V, 6), 
wo also & eine gewisse Function von a und aq bedeutet: 
& = Ä(a, aq). 
Wir können alsdann jede dieser oo 1 Punkttransformationen in 
der im vorigen Paragraphen auseinandergesetzten Weise erweitern. 
Jede liefert dann eine Transformation der Linienelemente (x, y, y) 
der Ebene. Es liegt die Vermutung sehr nahe, dass diese oo 1 erwei 
terten Transformationen ebenfalls eine eingliedrige Gruppe, und zwar in 
den drei Veränderlichen x, y, y, bilden. 
Zum Beweise dieser Vermutung erweitern wir die beiden nach- e ^enschaft 
einander auszuföhrenden Punkttransformationen (7) und (8). Dies giebt: terungTcr 
zr-'\ / \ \ ' dVi dip{x,y,a) Gruppe 
(7 ) x x = tp(x, y, a), y x = ip(x, y, a), y x — — 
und 
dx, dcp{x, y, a) 
dy 2 dy,(x 1 ,y 1 , a x ) 
(8) x 2 = <p{xi, y x , af), y 2 = il>(xi, y x , af), y 2 = ^ dcp(x,, y x , «,) 
Die Differentiationen sind hier natürlich so zu verstehen, dass nach 
der Bildung der Differentiale ~p~ — y' un d — V\ zu setzen ist. 
Die Gleichungen (7), (8) und (9) geben nun: 
dy A _ dy){x,, y,, af) _ dy>(x, y, h) 
dx z d<p(x 1 , y x , af) drp{x,y,b)’ 
d. h. eliminiert man aus (7') und (8') die Zwischenwerte x 1} y x und 
c Ili — y ' so kommt: 
dx x ’ 
(9') x 2 = <p{x,y,b), y 2 = il>(x, y, b), yf= • 
Also ist die Aufeinanderfolge der erweiterten Transformationen (7') und 
(8') äquivalent der Erweiterung (9') von (9), mit anderen Worten: 
Die erweiterten Transformationen der vorgelegten Gruppe bilden 
wiederum eine Gruppe. 
Bezeichnen wir die Transformation unserer vorgelegten Gruppe, 
welche dem Parameterwert a zugehört, mit T a , die erweiterte Trans 
formation mit T a ', so haben wir also bewiesen, dass aus 
T a Ta. = Ti 
folgt: 
(a,aj) 
rp r rp r rp ’ 
-La -La, 
in Worten: Ist die Aufeinanderfolge zweier Transformationen T a und T ai 
der ursprünglichen Gruppe äquivalent der Transformation T( aAl ) der 
selben, so ist die Aufeinanderfolge der beiden aus T a und T Pl erweiterten 
Transformationen T a ' und T a ' äquivalent der aus T( a a ,) erweiterten 
Transformation T( a a ,) •