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Kapitel 13, § 2. 
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ili 
Es möge insbesondere ä der Parameter der zn T a inversen Trans 
formation der gegebenen Gruppe sein. Ihre Reihenfolge T a T~a 
liefert die identische Transformation 
x 1 = x, 
Erweitert man diese, so kommt: 
dtj. 
yx = y- 
dx x * «• 
cLy_ 
d x 
y 
d. h. die identische Transformation in x, y, y : 
Xl = x, y x =y, y t '--= y. 
Demnach ergiebt sich, dass die Aufeinanderfolge T a ' T~ der aus T a und 
der dazu inversen T~ erweiterten Transformationen der identischen 
Transformation in x, y, y äquivalent, d. h. dass zu T a ' invers ist. 
Theorem 20: Erweitert man eine eingliedrige Gruppe der 
Ebene mit paarweis inversen Transformationen: 
X t = 9?0; V> «); y x = tfa y, a) 
durch Berücksichtigung der Transformationen des Differential- 
quotienten y'—j~, so bilden die erweiterten Transformationen 
X x = <P 0; y, a ), Vi = t 0, y, a), yi ■■ 
dtp , dtp , 
k r V 
ox cy 
8 qp . c cp , 
cx cy 
wieder eine eingliedrige Gruppe mit paanveis inversen Trans 
formationen im Gebiet der drei Veränderlichen x, y, y. Giebt 
die Reihenfolge zweier Transformationen der ursprünglichen 
Gruppe, welche den Paramefenverten a, a t entsprechen, eine 
Transformation mit dem Parameterwert b = A(a, %), so gilt 
dasselbe von den entsprechenden Transformationen der erwei 
terten Gruppe, 
Unser Theorem kann in mehr geometrischer Einkleidung auch so 
ausgesprochen werden: 
Satz 2: Werden die Punkte ix, y) der Ebene durch eine eingliedrige 
Gruppe transformiert, so werden gleichzeitig die Linienelemente (x, y, y) 
der Ebene durch eine eingliedrige Gruppe, die sogenannte erweiterte 
Gruppe, transformiert. 
Wir wollen die obige Beweisführung noch anschaulich geometrisch, 
wenn auch in nicht ganz scharf formulierter Weise wiedergeben: 
trischeTver- Eine Punkttransformation T a der gegebenen Gruppe von oo 1 Punkt- 
Hchüng' transformationen der Ebene führt die Punkte p derselben in Punkte 
p x über. Man kann die zugehörige Transformation der Linienelemente