Erweiterung einer eingliedr. Gruppe von Punkttransformationen d. Ebene. 269 
geometrisch so hersteilen: Ein Linienelement, bestehend aus p und 
einer beliebig gewählten hindurchgehenden Richtung g, wird durch 
die erweiterte Transformation T a ' in ein Linienelement, bestehend aus 
p x und einer gewissen durch p x gehenden Richtung g x , transformiert. 
Um diese Richtung g x zu construieren, nehmen wir auf g einen dem 
Punkte p unendlich benachbarten Punkt q an. Er wird durch T a in 
einen dem Punkte p x unendlich benachbarten Punkt q x auf der ge 
suchten Richtung g x übergeführt, und 
g x kann hiernach bestimmt werden. Sei 
nun T ai eine zweite Transformation der 
gegebenen Gruppe, welche wir nach T a 
ausführen. Sie bringt p x und q x in 
neue einander unendlich benachbarte 
Lagen p 2 , q 2 und die zu T Ul gehörige 
erweiterte Transformation T a ' führt dem 
nach das Linienelement (p x , g x ) in das 
Linienelement (p 2 , g 2 ) über, dessen Rich 
tung g 2 die von p 2 nach q 2 ist. (Fig. 25.) 
Da nun T a T ai = T(a, ai ), 6. h, äquivalent einer anderen Transformation 
der vorgelegten Gruppe ist, so wird die Punkte p, q direct 
nach p 2) q 2 führen. Die aus T( a ,ao erweiterte Transformation T{ a>ai ) 
muss deshalb notwendig das Linienelement (p, g) in das Linien 
element (p 2 ,g 2 ) überführen. Dies gilt für alle Linienelemente {p, g) 
der Ebene, und so folgt, dass mit 
Mg. 25. 
auch 
ist, was zu beweisen war. 
T T 
J-a-Ldi 
T' T ' 
T ( 
(a,«,) 
TL 
(«, %) 
1. Beispiel: Yorgelegt sei die eingliedrige Gruppe von Ähnlich 
keitstransformationen : 
x t = ax, y x = ay. 
Die erweiterten Transformationen 
x x = ax, y x — ay, y x = y 
bilden offenbar ebenfalls eine eingliedrige Gruppe. 
2. Beispiel: Yorgelegt sei die eingliedrige Gruppe von Rotationen 
um den Anfangspunkt: 
x t = x cos a — y sin a, y x = x sin cc y cos cc. 
Die erweiterten Transformationen sind hier (vgl. 2. Beispiel des § 1): 
Beispiele.