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Kapitel 13, §§ 2, 3. 
x 1 = x cos cc — y sin a, y 1 = x sin cc + y cos cc, y' = Sln 01 ~r ^ coa tt . 
J 1 3 ’ Vi COS cc — y sin Ci 
Wir verificieren, dass sie eine Gruppe bilden und führen zu dem 
Zwecke diese und die Transformation; 
x 2 = x 1 cos — y t sin a i} y 2 = x x sin -f- y 1 cos a,, 
y% 
sin cc, -{- 2/i'cos a, 
cos Kj — i/i'sin cc l 
nach einander aus. Eliminieren wir x 1} y 1} y{ hieraus vermöge der 
drei ersten Gleichungen, so kommt zunächst bekanntlich: 
x 2 — x cos (a -{- «j) — y sin (cc -{- a x ), % 
y 2 — x sin (« + «i) + y cos (a + *i) 
und überdies: 
sin «J (COS Ci — y sin Ci) -f- COS or, (sin d -\- y COS Ci) 
cos (cos ci — y' sin a) — sin a l (sin a -f- y cos a) 
sin(a -f- a t ) -j- y cos(a -f- o:,) 
cos(o: «x) — 2/'sin(or -f- ß x ) 
§ 3. Die infinitesimale Transformation der erweiterten Gruppe. 
Hat man aus einer eingliedrigen Gruppe von Transformationen 
der Punkte (x, y) die erweiterte eingliedrige Gruppe der Linien 
elemente (x, y, y) der Ebene construiert, so ist die letztere eine 
Gruppe in den drei Veränderlichen x, y, y. Wir stellen uns die 
Aufgabe, alle Gleichungen Sl(x, y, y) — 0 zu finden, welche die er 
weiterte Gruppe gestatten. Um diese Aufgabe anschaulich zu erledigen, 
werden wir bis auf weiteres x, y, y nicht gerade als Coordinaten 
eines Linienelementes, sondern als Cartesische Coordinaten eines Punktes 
im gewöhnlichen Raume auffassen. Natürlich bleibt die erweiterte 
Gruppe auch dann noch eine Gruppe, und zwar wird sie zu einer 
eingliedrigen Gruppe von Punkttransformationen des Raumes (x, y, y ). 
Diese Deutung liefert zu jedem Linienelemente (x, y, y) der (#i/)-Ebene 
einen bestimmten Punkt (x, y, y) des Raumes und umgekehrt. Die 
Linienelemente der Ebene sind also dadurch eindeutig auf die Funkte des 
Baumes bezogen, auf sie abgebildet*). Im Raume besitzt nun die erweiterte 
Gruppe — diese also aufgefasst als eine Gruppe von Transformationen der 
Funkte (x, y, y) des Raumes — gewisse invariante Curven und Flächen, die 
wir nach den früher gegebenen Regeln zu bestimmen vermögen. Diesen 
*) Diese Abbildung der Linienelemente der Ebene auf den Punktraum be 
nutzte Lie in grosser Ausdehnung in seinen Untersuchungen im norwegischen 
Archiv, 1878 u. 1879, über Gruppen von Berührungstransformationen. Dass man 
es hierbei erreichen kann, dass die Linienelemente jeder ebenen Curve sich als 
die Punkte einer Raumcurve abbilden, deren Tangenten einem linearen Linien- 
complexe angehören, hatte er schon 1874 in den Göttinger Nachrichten angedeutet.