Die infinitesimale Transformation der erweiterten Gruppe. 
271 
Curven und Flächen entsprechen vermöge unserer Abbildung gewisse 
aus Linienelementen {x, y, y) bestehende Gebilde in der Ebene, die 
bei der erweiterten Gruppe — diese jetzt als eine Gruppe von Trans 
formationen der Linienelemente aufgefasst — invariant sind. 
Es eröffnet sieb hiermit also ein Weg, die bei einer erweiterten 
Gruppe vorhandenen invarianten Gebilde von Linienelementen vermöge 
uns schon bekannter Regeln zu bestimmen. Dazu aber bedürfen wir, 
wie bekannt, der infinitesimalen Transformation der erweiterten Gruppe; 
zunächst werden wir daher diese aufsueben. 
Es sei 
Uf EEE £0, y) + rj{x, y) J f y 
Berechnung 
d. inf. Trf. 
der erweiter 
ten Gruppe, 
die infinitesimale Transformation der vorgelegten eingliedrigen Gruppe 
von Punkttransformationen der Ebene. Bekanntlich können wir dann 
slie endlichen Gleichungen der Gruppe in Form von Reibenentwicke 
lungen schreiben (vgl. Theorem 4 des § 3, 3. Kap.): 
+ iTg U(JJx) H , 
Vi = V + *n + ^2 u i ü v) H • 
Demnach kommt: 
/ dVi _ dy -f tdn -f • • ■ 
dx 1 dx td£ 
Nun lässt sich der reciproke Wert der Potenzreihe nach t: 
1 + 1 (U + d d\y) + iTä •) 
bekanntlich ebenfalls in eine Poteuzreihe nach t entwickeln und zwar 
beginnt sie mit den Gliedern: 
Gehen wir nun zur infinitesimalen Transformation der erweiterten 
Gruppe über, so haben wir den Parameter t unendlich klein, gleich 
dt, anzunehmen und die Glieder zweiter und höherer Ordnung in di 
zu vernachlässigen. Daher folgt dann: