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Kapitel 13, §§ 3, 4. 
Xi = x, y x = y + t, 
deren erweiterte Gruppe lautet: 
' = y x = y + t, y x = y 
und auch — zur infinitesimalen Transformation hat. 
dy 
2. Beispiel: Die Erweiterung der infinitesimalen Rotation: 
üfi 
df . df 
y tG- 4- x -¿r 
J ox ' oy 
liefert die infinitesimale Transformation der Linienelemente: 
df , „ df , „ , df 
U'f=-y^ x + x^ + {l + y^)^. 
denn hier ist £ = — y, r] = x, also tj = — y || = 1 -f y' 2 . 
Man kann sie auch so erhalten: Uf ist infinitesimale Transformation 
der Gruppe von Rotationen: 
x x — x cos t — y sin t, y x = x sin t + y cos t, 
bei der, wie früher berechnet, 
/ sin t -f- y cos t 
cos t — y sin i 
ist. Für t = dt giebt dies bis auf unendlich kleine Grössen höherer 
Ordnung: 
yi — i~$it = + y) (i + y'st) = y + (1 + y 0ätf 
sodass in der That 
dtj= (1 + y' 2 )dt 
wird. 
§ 4. Neues Kriterium dafür, dass eine Differentialgleichung erster 
Ordnung in x, y eine eingliedrige Gruppe gestattet. 
Jetzt sind wir soweit, dass wir tiefer auf die Theorie derjenigen 
gew. Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y eingehen können, 
welche eine gegebene eingliedrige Gruppe von Punkttransformationen 
gestatten. Wir nehmen also gewisse Probleme der zweiten Abteilung 
hier wieder auf. 
Eine Differentialgleichung erster Ordnung in x, y hat die Form 
(io) a(x, y, y) = o. 
(Früher nahmen wir sie immer in aufgelöster Form Xy'— Y — 0 an.) 
Wählt man x, y ganz beliebig, so bestimmt sie y. Diese Gleichung 
wird daher von oo 2 der oo 3 Linienelemente der Ebene erfüllt. Diese 
hängen mit den Integralcurven eng zusammen, denn die Tangente der 
durch den Punkt (x, y) gehenden Integralcurve hat eine Neigung y,