Neues Krit. dafür, d. e. Differentialgl. 1. 0. in x, y e. eingl. Gr. gestattet. 275 
welche mit x und y zusammen die Differentialgleichung erfüllt, d. h. 
jene oo 2 Linienelemente, welche der Gleichung £1 = 0 genügen, stellen 
sich dar als die oo 2 Linienelemente, deren Richtungen die Integral- 
curven in ihren Punkten berühren. (Fig. 26.) Die Integralcurven 
sind also die oo 1 Curven, welche von jenen oo 2 Linienelementen ein 
gehüllt werden. 
Wenn insbesondere die Gleichung (10) y selbst gar nicht enthält, 
stellt sie allerdings keine Differentialgleichung mehr vor, aber sie 
definiert dann immer noch oo 2 Linienelemente. Wählt man nämlich 
in diesem Falle x beliebig, so wird durch die Gleichung y bestimmt, 
während y ganz willkürlich bleibt. Eine Gleichung zwischen x und y 
Fig. 27. 
Fig. 26, 
allein, die in gewöhnlicher Auffassung eine Curve darstellt, wird also 
als Gleichung zwischen den Coordinaten der Linienelemente die oo 2 
Linienelemente darstellen, deren Punkte auf jener Curve liegen, deren 
Richtungen aber beliebig sind. (Fig. 27.) 
Wir werden voraussetzen, dass die Gleichung (10) die Yariabele 
y wirklich enthält. 
Verlangen wir nun, dass die vorliegende Differentialgleichung (10) 
die Punkttransformation 
Xt = (p{x,y), 01 = ^0», 2/) 
gestatte, so soll das heissen, dass die Differentialgleichung, geschrieben 
in den durch diese Transformation eingeführten Yariabeln dieselbe 
Form wie die ursprüngliche hat. Führen wir aber die neuen Veränder 
lichen x 1} y t ein, so haben wir für x und y die Auflösungen der 
Transformation zu setzen: ferner ist y — ^ vermöge: 
Ci 0D 
durch x 1} y v und y t ' auszudrücken. Die Gleichung (10) in den drei 
Veränderlichen x, y, y muss also invariant sein gegenüber der Trans 
formation: 
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