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Die eingliedrige Gruppe der Rotationen um einen festen Punkt in der Ebene. 7 
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Ile Punkte der 
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Punkt 0. Um 
die Gleichungen einer derselben aufzustellen, d. h. x x , y x durch x, y 
und a auszudrücken, bemerken wir, dass sich cc als Differenz der 
Winkel darstellt, welche die Radienvectoren der Punkte (x, y) und 
{x x , y x ) mit der x-Axe bilden und deren Tangenten — und — sind 
(Fig. 2). Demnach ist 
= t<X a 
KVi — shV 
+ W i 
woraus durch Auflösung: 
x cos a — y sin cc 
x sin cc y cos cc 
x x und y x unterscheiden sich also von den rechts stehenden Ausdrücken ;/ 
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da x x -j- y x als Quadrat des 
(JO,y,) 
V, 
/Z-Ais 
w) 
nur um denselben Factor. Dieser kann, 
Radiusvectors gleich x 2 -J- y 2 sein muss, 
nur + 1 sein; offenbar ist -f- 1 zu 
wählen (denn für cc — 0 müsste x x = x, 
y x — y sein). Folglich sind 
x x — x cos a — y sin cc, 
y x = x sin cc -f- y cos cc 
die Gleichungen unserer Rotation, 
Führen wir nun nach einander zwei 
Rotationen um den Punkt 0 aus: Die 
erste mit dem Drehwinkel cc führt alle 
Punkte (x, y) in die neuen Lagen (x x , y x ), die zweite mit dem Dreh 
winkel cc x führt diese Punkte (x X} y x ) noch Aveiter in die Lagen (x 2 ,y 2 ) 
über. Es ist geometrisch evident, dass Avir auch durch eine einzige 
Rotation, nämlich durch die mit dem Drehwinkel cc -}- cc x , alle Punkte 
der Ebene aus den Anfangslagen (x, y) in die Endlagen (x 2 , y 2 ) hätten 
überführen können. Auch analytisch ergiebt sich dies: die erste Ro 
tation wird durch die Gleichungen: 
x x — x cos a — y sin cc, y x = x sin a -f- y cos cc, 
■X, 
Fig. 2. 
die zweite durch die Gleichungen: 
Xo 
x x cos cc x — y x sin cc x , 
X x sin cc x -f- y x cos cc x 
dargestellt. Eliminiert man vermöge der beiden ersten x x , y x aus den 
beiden letzten, so kommt 
X% — (;X COS CC y sin cc) COS cc x (x sin a -f- y COS cc) sin «J 
= x (cos a cos cc x — sin a sin cc x ) — y (sin a cos cc x -(- cos cc sin cc x ),