Neues Krit. dafür, d. e. Differentialgl. 1. 0. in x, y e. eingl. Gr. gestattet. 279 
Also ist: 
U£i=x te+y Jö = = 
= x {2x(l -f- y) 2 — 2(a? + y) (1 + y) — 20 + 2/2/') (!+«/') + 
+ 2 (fl? -f- yy)} + 
+ V {22/(1+ 2/') 2 — 2?/0 + 2/) (1 + /) — 20 + yy) (1 + i/') + 
+ 2j/'0 + 2W)} 
= 2ß. 
Also verschwindet in der That U'Sl vermöge ii = 0. 
3. Beispiel: Die Schar der oo 1 Tangenten des Kreises x 2 -\-y 2 =l 
gestattet offenbar die eingliedrige Gruppe von Rotationen um den 
Anfangspunkt: 
TT n df , df 
Uf =~y^c + x W 
Zur Verification dessen an der Differentialgleichung der Geradenschar 
haben wir erst diese zu bilden. Die Gleichung der Tangenten ist; 
ax + ly — 1 = 0, 
wo 
«2 _{_ = i 
ist. Wir differenzieren: 
a + by = 0 
und eliminieren aus diesen drei Gleichungen a und &. Dadurch geht 
als Differentialgleichung der Geraden hervor: 
& = 1 + V 2 — (y — xy) 2 = 0. 
Es ist hier 
U'f=-y% + x|i + (l+» ,s ) df 
dx 1 M cy 1 1 J J dy 7 
sodass sich ergiebt: 
ü'£l= — y• 2(y—xy)y -x-2{y — xy) + (1 + ?/ 2 ){2y + 2{y — xy)x) 
= 2y'(l -\-y' 2 - (y - xy) 2 ) = 2y& 
und dieser Ausdruck verschwindet vermöge il = 0. 
Selbstverständlich muss das in unserem Theorem 21 aufgestellte fü ^ r u ^ k ' es 
Kriterium sich mit dem früheren decken. Wir werden es auf das auf 
frühere zurückführen, indem wir die Differentialgleichung ii = 0 in da * frühere - 
der aufgelösten Form 
£1 = Xy — T=0 
annehmen. Dann kommt: