Alle Diffgln. erster Ord., welche eine eingl. Gruppe gestatten. 
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Erinnern wir uns daher an das Problem, alle Flächen oder Glei 
chungen = 0 zu finden, welche eine eingliedrige Gruppe des Raumes 
(x, y, y) gestatten. Wir fanden früher (vgl. Theorem 19 des § 3, 
12. Kap.), dass es zweierlei invariante Flächen giebt, einmal die von 
oo 1 Bahncurven der Gruppe erzeugten und dann die aus lauter in 
varianten Punkten bestehenden. Von letzteren kann hier nicht die 
Rede sein. Da nämlich den Punkten einer solchen Fläche oo 2 Linien 
elemente der Ebene entsprechen, so würden die oo 2 durch die be 
treffende Gleichung il(x, y, y ) — 0 definierten Linieneleraente bei der 
infinitesimalen Transformation U'f in Ruhe bleiben. Diese können 
aber nicht über die ganze Ebene verteilt sein, denn sonst müssten 
die oo 2 Punkte dieser Linienelemente, d. h. edle Punkte der Ebene bei 
der infinitesimalen Transformation Uf invariant sein. Die oo 2 in 
varianten Linienelemente müssten vielmehr so liegen, dass ihre Punkte 
nur eine Curve bilden. Dies aber käme, wie wir zu Beginn des § 4 
sahen, darauf hinaus, dass die Gleichung il(x, y, y) = 0 ganz frei 
von y, also gar keine Differentialgleichung wäre (vgl. Fig. 27). 
Wir haben also nur solche invariante Flächen Si(x, y, y) = 0 zu 
suchen, die von oo 1 Bahncurven der Gruppe U'f des Raumes (x, y, y) 
erzeugt werden. 
Nach dem Früheren (vgl. Satz 7, § 3 und Theorem 17, § 1 des 
12. Kap.) ergeben sie sich in allgemeinster Weise, indem wir zwei 
Invarianten der Gruppe U'f, d. h. zwei von einander unabhängige 
Lösungen u, v der linearen partiellen Differentialgleichung U’f — 0 
bestimmen und irgend eine Function derselben gleich Null setzen. 
Die entstehende Gleichung können wir immer so schreiben: 
v — f{n) = 0. 
Natürlich kann man eine der beiden Lösungen, etwa u, frei von y 
wählen, denn nimmt man u frei von y an, so reduciert sich die Be 
dingung ü'u — 0 auf: 
und diese lineare partielle Differentialgleichung ist auch frei von y. 
Sie bestimmt u als Invariante der eingliedrigen Gruppe Uf von 
Punkttransformationen, und u — Coust. stellt also die Bahncurven der 
Gruppe Uf in der Ebene dar. Nehmen wir an, diese Bahncurven seien 
uns bekannt, so können wir eine zweite y tvirklich enthaltende Lösung v 
der Gleichung U'f = 0 immer durch Quadraturen finden. Wir werden 
dies auf zwei Wegen beweisen und heben hervor, dass die Beweis 
methode, die sich zunächst darbietet, theoretisch nicht so einfach ist, 
wie die zweite, nachher angegebene (S. 284).