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Kapitel 13, § 5. 
Um den ersten Beweis zu liefern, stellen wir das der linearen par 
tiellen Differentialgleichung U'f= 0 äquivalente simultane System auf: 
dx dy dy 
l V 
(ii) 
dx'\dy dx) J dy ^ 
von dem wir nach Voraussetzung schon ein von y freies Integral 
n(x, y) kennen. Vermöge 
u(x, y) — c 
können wir etwa y entfernen und erhalten eine Differentialgleichung 
erster Ordnung von der Form: 
(12) 
dy 10*7,1 /0*7 
“ t jx "i" t l 
di 
dx 
£ \dy dx 
)y 
1 0g / 2 
Jdy y 
Bestimmung 
d. 2. Inv. 
durch eine 
Biccati’solie /•-< q\ 
Diffgl. fJ-Oj 
zwischen den beiden Veränderlichen y und x, indem y überall ent 
fernt ist. Diese Gleichung wird aber im allgemeinen die die Rolle 
einer Constanten spielende Grösse c enthalten. 
Diese Differentialgleichung hat die Gestalt: 
% = X+X l y + X i y’\ 
wo X, X ± und X 2 Functionen von x (und c) sind. Wir bezeichnen 
sie wie üblich als eine Riccati’sche Gleichung. 
Im allgemeinen würde ihre Integration nicht durch Quadraturen 
allein möglich sein, aber in unserem Falle geht dies doch, weil uns 
Lösung die- Hämlich eine particulare Lösung derselben bekannt ist. Wir wissen 
schen i Dffgi'j a » ^ ass Bahnkurven der Gruppe Uf der Ebene bei dieser Gruppe 
invariant bleiben, dass also die Linienelemente längs einer solchen 
bei der erweiterten Gruppe U'f unter sich vertauscht werden. Mithin 
erfüllt die Schar aller oo 2 Linienelemente der oo 1 Bahncurven der 
Gruppe üf eine Gleichung, die bei U'f invariant ist, also eine Integral 
gleichung des simultanen Systems (11) ist. Diese Integralgleichung 
lässt sich sofort aufstellen, denn die Linienelemente {x, y, y') der 
Bahncurven von üf haben in ihren Punkten (x, y) eben die Fort- 
schreitungsrichtungen y, welche die infinitesimale Transformation üf 
den betreffenden Punkten zuordnet. Sie erfüllen also die Gleichung: 
y 
oder 
W — V = o. 
Also ist y — ~ eine Particularlösung der Differentialgleichung (12) 
oder (13), sobald nur aus ihr y vermöge u(x, y) = c entfernt wird.