Alle Diffgln. erster Ord., welche eine eingl. Gruppe gestatten. 
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Wir können diese geometrischen Schlösse auch analytisch dar- 
thun. Die Gleichung 
%y — v = o 
giebt nämlich nach x, y, y total differentiiert: 
w+ wL) dx + (H y- %) d y= 0 
und diese Gleichung wird vermöge des simultanen Systems (11) 
und %y — rj = 0 identisch erfüllt. 
Yon unserer Riccati’schen Gleichung (12) oder, kürzer geschrieben, 
(13) kennen wir also eine Particularlösung y — Ar, geschrieben in irchungdurch 
und c. Daraus folgt (nach einem allgemeinen Satze über Riccati’sche 
Differentialgleichungen), dass sich das Integral durch Quadraturen 
finden lässt. Bezeichnen wir nämlich zur Abkürzung die bekannte 
Particularlösung y — \ der Gleichung (13) mit y — X{x\ so ist: 
(14) 
dl 
'£ = x+x 1 x + y 2 a 2 . 
Wenn wir nun in (13) als neue Veränderliche statt y diese: 
1 
co = ——; 
y — l 
einführen, so vereinfacht sich die Differentialgleichung sehr. Es ist 
ja daun 
y ,==x + ^’ 
also 
dy’ dl 1 d co 
dx dx co 2 dx 
oder nach (13) und (14); 
- - № + 2X 3 i)m - X,. 
co bestimmt sich mithin durch eine lineare Differentialgleichung und 
kann, wie aus den Elementen der Theorie der Differentialgleichungen 
bekannt ist oder wie wir früher gelegentlich zeigten (vgl. 5. Beispiel 
des § 3, 8. Kap.), durch zwei Quadraturen integriert werden. Damit 
ist dann auch 
' i i 1 V 
V = A + TT — X 
bekannt. 
Hat man somit y als Function von x, c und einer Integrations- 
constante y bestimmt: 
y= W(x, c, y),