Alle Diffgln. erster Ord., welche eine eingl. Gruppe gestatten. 285 
nichts anderes als die früher mit v bezeichnet^. Man sieht, dass die 
jetzige Bestimmung von v etwas einfacher als die obige ist. 
Wir bemerkten schon früher, dass jede hei der eingliedrigen 
Gruppe Uf invariante Differentialgleichung erster Ordnung erhalten 
wird, indem man eine Invariante £l(x,y,y') der erweiterten Gruppe 
ü'f gleich Null setzt. Bezeichnen wir nun jede Invariante der er 
weiterten Gruppe ü'f als eine Differentialinvariante der ursprünglichen Variante 1 ' 
Gruppe Uf, so können wir sagen: 
Theorem 23: Ist eine eingliedrige Gruppe Uf in den Verän 
derlichen x, y vorgelegt, so gehören zu derselben unendlich viele 
Differentialinvarianten, die sich als beliebige Functionen irgend 
zweier unabhängiger Invarianten der erweiterten Gruppe ü'f 
darstellen lassen. Jede Differentialgleichung &(x,y,y') = 0, 
welche Uf gestattet, hann durch Nullsetzen einer Differential 
invariante erhalten werden. 
Wir ersuchen den Leser, die vorangehenden Methoden zur Auf- vergleich 
° • mit der 
Stellung aller Differentialgleichungen erster Ordnung in x, y, welche früheren 
eine eingliedrige Gruppe Uf gestatten, mit der früher (in § 2 des 
8. Kap.) entwickelten Methode zu vergleichen. Das jetzige Verfahren 
setzt nur die Kenntnis der Bahncurven, das frühere aber die Kenntnis 
der endlichen Gleichungen der Gruppe Uf voraus. Wie schon damals 
hervorgehoben wurde, liefert die frühere Methode überdies die be 
treffenden Differentialgleichungen in wenig übersichtlichen Formen. 
Auch hierin ist das jetzige Verfahren dem früheren weit überlegen. 
Zum Vergleich behandeln wir einige der damaligen (in § 3 des 
8. Kap. angegebenen) Beispiele nach der jetzigen Methode. Man wird 
sehen, wie viel schneller die jetzige Methode dabei zum Ziele führt. 
1. Beispiel: Sei Uf die infinitesimale Ahnlichkeitstransformation: Beispiele. 
Hier ist die erweiterte infinitesimale Transformation U'f = Uf; es 
müssen also zwei Integrale des simultanen Systems 
dx dy dy 
x y 0 
dy_ 
y 
bestimmt werden. Solche sind u = —■, v = y, sodass