288 
Kapitel 14, § 1. 
so stellen sie eine Schar von oo 1 Transformationen dar, indem der 
Parameter a auf oo 1 Weisen gewählt werden kann. Insbesondere 
nennen wir diese Schar von oo 1 Transformationen eine Gruppe und 
El Gnippe lg6zwar e ^ ne eingliedrige Gruppe von Transformationen, wenn sie die 
Gruppeneigenschaft besitzt, d. h. wenn die Aufeiuanderfolge zweier 
Transformationen dieser Schar mit einer einzigen Transformation der- 
Gruppen- 
eigenschaft. 
selben Schar äquivalent ist. 
Um das analytische Kriterium hierfür aufzustellen, führen wir 
nach der Transformation (1) mit bestimmt gewähltem Parameter a 
eine zweite Transformation der Schar aus, deren Parameterwert gleich a 
sei. Sie führt die Yariabeln • • • x n ' in neue aq" • • • xd' über und 
zwar durch die Gleichungen: 
x \ = <Pi i x iy %2 ‘• x n, a), 
x d = Vifä, x 2 ' • • • Xn, a), 
Xn ^pn x % ' * * Xn y ^ 
Die erste Transformation (1) werden wir wie früher mit T a , die 
zweite (2) mit T a ' bezeichnen. Die Transformation nun, welche der 
Aufeinanderfolge von T a und T a - äquivalent ist, also T a T a ', ergiebt 
sich durch Elimination der Zwischenwerte x.[, x 2 , ■ • • x n f aus (2) ver 
möge (1) in der Form: 
(2) 
X x = <Pt i<Pi { x , a), (p 2 {x, d) • • • <p n (x, o), d), 
x 2 = 9> a (9i(a?, d), y 2 {x, d) • • • cp tl (x, a), d), 
Xn" = cpn (cpxix, d), (f 2 (x, d) • • • rpjx, d), d) . 
Hierin ist zur Abkürzung allgemein statt <ph{x lt ■ • • x n , d) einfach 
cp k (x, d) geschrieben. Diese Transformation (3) der Yariabeln x U "-x n 
in aq' • • • xd muss nun, wenn unsere oo 1 Transformationen eine ein 
gliedrige Gruppe bilden sollen, auch eine Transformation der Schar 
sein, d. h. sich decken mit 
X \ = <Pl(. X ly X 2 X *y A), 
X 2 92 ( X 1 7 X 2 * * ’ Xn 7 y 
x n *Pn(. X 17 X 2 ’ ' ‘ X ny d)y 
wo A eine gewisse nur von den Constanten a und d abhängige (kon 
stante ist: 
A = A(a, d). 
Es müssen also identisch für alle Werte von j Cß2 * * • CC^i p a und d, 
die n Gleichungen bestehen: