Eingliedrige Gruppe in n Veränderlichen. 
289 
fPkiVii?!, x 2 ; • * • x n , a ), <Pz { X l, X 2 ' " ■ #«, «) • • • X 2 Xn> «), «') 
= (pkipc 1, ¿(ä «')) 
(Jfc = 1, 2 • • • n). 
Wir werden also voraussetzen, dass die Gleichungen (1) von oo 1 
Transformationen eine eingliedrige Gruppe bilden. Gleichzeitig setzen 
wir wie früher voraus, dass die Gruppe zu jeder Transformation T a 
auch die inverse T« enthält, sodass die Aufeinanderfolge von T a und 
Ta der identischen Transformation: 
ff ff ff 
/y» ....— - /y> /y> /y> , , , /y> — ry 
—— j «X/g } ^71 wJJ 
äquivalent ist, in symbolischer Ausdrucks weise: 
T a T s - 1. 
Die inverse Transformation werden wir auch, wie früher, mit 
bezeichnen können. Führen wir T a und Tä nach einander aus, so 
muss sich wegen der Gruppeneigenschaft wieder eine Transformation 
der Gruppe ergeben, d. h. unsere Gruppe enthält die identische Trans 
formation. 
Demnach giebt es einen Wert a 0 des Parameters a, für den sich 
die Gleichungen der Transformation (1) auf die der identischen Trans 
formation reducieren, sodass also: • 
9h 0 a x t • 
X n , tty) Xj , 
(p 2 {x { ,x 2 • 
Xn, «o) = X 2 , 
(p lt (x 1) x 2 • 
• X n , Uy) 
ist. 
Geben wir dem Parameter a einen von a 0 nur unendlich wenig 
verschiedenen Wert a 0 -f- da, so ergiebt sich eine von der identischen 
nur unendlich wenig verschiedene, also eine infinitesimale Transfor 
mation der Gruppe zunächst in der Form: 
x i = 9>iOi, x. • • • x n , -f da) == (p t {x, a 0 ) -f flu) da -\ , 
x 2 ' =(jp 2 (a; I ,« 2 ---a;„,a 0 -f da) = cp 2 (x, a 0 ) + C(f ^ a ^ da , 
Xn = <pn{xi; x 2 • • • x n , a 0 + da) = tp n {x, a 0 ) + da -\ , 
oder wegen (4) in der Form: 
, , ^V/ci x i> • ' • x n y a 0 ) 
Xi = x k + ^ da -f- 
da 0 
(* = 1, 2 • • • «). 
Ule, Differentialgleichungen. 
19 
Inverse 
Transfor 
mation. 
Identische 
Trans 
formation. 
Infinitesi 
male Trf.