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Kapitel 14, § 1. 
c l} c 2 ■ • • c n —i durch £i x , Si 2 - • • Si n —i ersetzt, so erhält man das gesuchte 
Integral in der Form: 
W(xf, x 2 ' • • • x n ') — t. 
Da sich für t — 0 die Yariabeln xf, xf • • • x n ' auf x x , x 2 • • • x n redu- 
cieren sollen, so sind die gesuchten Functionen (8) die Auflösungen 
der n Gleichungen: 
(xf, X 2 • • • Xn) = (x x , x 2 • • • Xn), 
X‘2 ■ ■ ■ %n) = & 2 {X 1} X 2 ■ ■ • X n ), 
(9) 
£i n —i (x x , X 2 • • • X n ) Hn—1 (x‘i, X 2 • ’ ’ X n ), 
. W(x/, x 2 • • • Xn) — t = • • • rr„) 
nach x x , x 2 ■ • ■ Xn. 
Dass diese Auflösungen nun eine Gruppe von oo 1 Transformationen 
darstellen, erkennt man wie in dem Falle n — 2 (vgl. § 4 des 2. Kap.): 
Die Aufeinanderfolge der Transformationen mit den Parameterwerten 
t und t' ist äquivalent der Transformation mit dem Parameterwert 
t -f- t'. Insbesondere ist also die Aufeinanderfolge der Transformationen 
(t) und (— t) äquivalent der sich für t = 0 ergebenden identischen, 
sie sind also zu einander invers. 
Dass die Gruppe, die sich durch Integration des simultanen Systems 
(7) ergiebt, auch die vorgelegte infinitesimale Transformation (6) ent 
hält, ist ohne weiteres klar, denn die Entwickelungen von x x , x 2 • • • x n ' 
nach Potenzen von t fangen nach dem Maclaurin’schen Satze und, da 
nach (7): 
\k{x x , x 2 • • • Xn) 
ist, mit den Gliedern an: 
Xk = X k + ikix x , x 2 • • • Xn)t + • • • 
geben also für t=öt eine infinitesimale Transformation, welche mit 
der vorgelegten in den Gliedern erster Ordnung, auf die allein es hier 
ankommt, übereinstimmt. 
Theorem 24: Jede infinitesimale Transformation 
x i = x x + {x x ■ • • x n ) dt -f , • • • xü = x n + L (x x ■ • • x n ) dt -}- • • • 
gehört, wenn von unendlich Meinen Grössen zweiter und höherer 
Ordnung abgesehen wird, mindestens einer eingliedrigen Gruppe 
mit paarweis inversen Transformationen an. Die endlichen 
Gleichungen dieser Gruppe ergeben sich durch Integration des 
simultanen Systems: