Die eingliedrige Gruppe der Rotationen nm einen festen Punkt in der Ebene. 9 
Auf einen beliebigen Punkt (x 0 , y 0 ) mögen nun alle Rotationen 
unserer eingliedrigen Gruppe ausgeführt werden. Der geometrische 
Ort der Lagen, in die er gelangt, ist offenbar ein Kreis um 0, was 
auch auf analytischem Wege hervorgeht, da diese Lagen (x, y) durch 
die Gleichungen 
x — x 0 cos a — y 0 sin cc, y — x 0 sin a -f- y 0 cos a 
gegeben werden und hiernach für alle a 
x 2 -j- y 2 = x 2 -f y 2 (= Const.) 
ist. Demnach nennen wir diesen Kreis die Bahncurve des Punktes bahncurve. 
(x 0 , y 0 ). Es ist einleuchtend, dass wir für jeden anderen Punkt dieses 
Kreises genau dieselbe Bahncurve gefunden hätten. Im ganzen giebt 
es also oo 1 solche Curven, bestehend aus allen Kreisen um den Mittel-, 
punkt 0. Wir nennen sie die Bahncurven der eingliedrigen Gruppe. 
Weil unter den Rotationen der Gruppe auch die infinitesimale ent 
halten ist und diese den Punkten (x 0 , y Q ) unendlich kleine Bewegungen 
erteilt, so ist begrifflich klar, dass die Richtung der Bahncurve, welche 
durch den Punkt (x 0 , y 0 ) geht, in diesem mit der Richtung zusammen 
fällt, welche die infinitesimale Rotation dem Punkte zuordnet. Letztere 
Richtung steht, wie bemerkt, auf dem Radiusvector senkrecht; die 
Bahncurve könnte somit auch durch einen Punkt erzeugt werden, der 
sich beständig senkrecht zu seinem Radiusvector bewegt. Dies ist hier 
auch geometrisch klar. 
Die Bahncurve als Ganzes aufgefasst bleibt bei jeder Rotation 
der eingliedrigen Gruppe in Ruhe, da jeder ihrer Punkte bei einer 
beliebigen Rotation der Gruppe wieder in einen Punkt auf ihr über 
geht, der Kreis sich also nur in sich verschiebt. Es erhellt dies eben 
sowohl aus dem Begriff der Bahncurve wie aus der geometrischen An 
schauung. Jede der oo 1 Bahncurven ist also bei der eingliedrigen 
Gruppe invariant. Umgekehrt muss eine jede Curve, die bei der Gruppe invariante 
invariant bleibt, natürlich alle Punkte enthalten, in welche ein be 
liebiger Punkt der Curve bei allen Rotationen der Gruppe übergeht, 
d. h. eine Bahncurve sein. Nur ein Ausnahmefall ist besonders zu 
untersuchen. Es wäre ja möglich, dass eine invariante Curve aus 
lauter Punkten bestände, die sich bei den Rotationen der Gruppe 
überhaupt nicht bewegen, sondern einzeln in Ruhe bleiben. Aber mau 
sieht ohne weiteres, dass bei unseren Rotationen im Endlichen nur 
ein Punkt, nämlich 0, in Ruhe bleibt, also keine derartige Curve 
existiert. 
Lässt man auch imaginäre Punkte zu, so bleiben auch die beiden 
Geraden x -j- iy = 0 und x — iy = 0 invariant bei allen Rotationen der