Symbol einer infinitesimalen Transformation und Reihenentwickelung. 297 
Gruppe übergeföhrt wird, haben wir in den Fällen n — 2, 3 geo 
metrisch anschaulich begründet. Wir wollen hier einen analytischen 
Beweis geben, der für jedes n gilt. Ist irgend eine eingliedrige 
Gruppe vorgelegt, so kann dieselbe, wie wir fanden, auf die Form 
• • • x n ') = Sli(x x • ■ • X n ) (« = !•••»- 1), 
W{xf • • • Xn) = W{x l • • • Xn) + t 
gebracht werden. Setzen wir nun 
lk = & k Oi • • ■ Xn), lk = O k {xf • • • Xn), (* = i, 2 • • ■ n) 
so erhalten wir offenbar Gleichungen von der Form 
■0 (?1 **'£«) == ‘ ' ' £»), (* = !•••« 1) 
Wfa' •••?/) •••£*) + Z 
welche ihrerseits eine Gruppe bilden. Also gilt der 
Satz 3: Führt man in eine eingliedrige Gruppe 
X| 9b Obi X2 * ‘ ‘ Xn , t), * ¡T« <Pn Obi X2 ’ " " x ti , t) 
vermöge zweier cogredienten Gleichungensysteme: 
£1 = O l {x l ,x 2 - ■ ■ x n ), • • • ln = Ol, 0* •••«»), 
£1= * • ¡Ta')» • ■ • £«' = (xf • X.f * • • 
wewm Veränderlichen i 1} j 2 • • • £» tmcZ j/, g 2 ' • • • eZw, so stellen 
die hervorgehenden Gleichungen: 
£1 == 9b (£1, ’■■£»; Z), • £w == 9 , »(£u ' ’ ' £»> Z) 
wiederum eine eingliedrige Gruppe dar. 
Genau so wie in dem Fall n — 2 lässt sich ferner 
beweisen: 
Satz 4: Führt man in eine eingliedrige Gruppe 
der 
Satz Einführung 
neuer Varia 
bein in das 
Symbol Uf. 
X x Cpi Ob * * * , Z), * ‘ ’ Xn fpn Ob ‘ ‘ ’ X n , t) 
anstatt x x , x 2 • • • x a und xf, x 2 ' • • • x,i durch zwei cogrediente Gleichungen 
systeme neue Veränderliche £,, • • • £„ und h, j 2 ' • • • ein, so geht 
das Symbol 
TT -f* - t df \ t \ \ t cf 
der infinitesimalen Transformation der Gruppe dabei direct in das Symbol 
Uf der infinitesimalen Transformation der neuen Gruppe über. Es cr- 
giebt sich also: 
tt/=0-6^ + D*.^ + -+ O S-f - 
wo natürlich Uh, Uh • • • Uh in den neuen Veränderlichen £ 2 ■ • • 
zu schreiben sind.