Die Bahncurven und Invarianten einer eingliedrigen Gruppe, 
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Beispiel: Man soll durch Reihenentwickelung die endlichen Glei- Beispiel, 
chungen der von der infinitesimalen Transformation 
erzeugten eingliedrigen Gruppe berechnen. Hier ist: 
Üx 1 = x x — x i} Ux i = 1, 
UiTJx,) = x t - x± + l, U{Uxf) = 0, 
U{U(Uxj)) = x y — x d + 1, 
demnach: 
1-2-3 
analog x 2 und x¿ und überdies: 
x± — x i -j- t. 
Summation liefert: 
x 1 — x i -f- t -f- 1 -f- (x x — x i -f~ l)c** 
(Ygl. 3. Beispiel des § 1.) 
§ 3, Die Bahncurven und Invarianten einer eingliedrigen Gruppe, 
Lineare partielle Differentialgleichung. 
Einige Worte über die geometrische Deutung der Transformationen 
und der eingliedrigen Gruppen in n Veränderlichen mögen hier Platz finden. 
Wir setzen dabei voraus, dass dem Leser der Begriff eines Baumes von von 
n Dimensionen bekannt sei. Jedem Wertesystem x u x 2 • • • x n entspricht sioucn. 
ein Punkt dieses Raumes mit den Coordinaten x x , x 2 • • • x n und umgekehrt. 
Eine Transformation der Veränderlichen x x , x 2 • • • x n in neue x 2 ••• x,f 
vermöge 
X± — (f> l {x x , X 2 • • • Xn), * • • Xn X 2 Xn) 
ist alsdann eine Überführung aller Punkte des Raumes in neue Lagen, 
also eine geometrische Operation. Insbesondere bildet eine Schar von oc 1 
Transformationen: 
XJ — cp± {X-± , ‘ } t), * • • X n <p,i {x± ) X 2 Xn ) t) 
eine eingliedrige Gruppe, wenn die Aufeinanderfolge zweier dieser Operationen 
durch eine einzige Operation aus der Schar ersetzt wei’den kann. Die in- Geomew- 
scher Sinn 
scher Sinn 
e. inf. Trf. 
fmitesimale Transformation der Gruppe: 
erteilt den Coordinaten der Punkte (x ly x 2 • • • x n ) die Incremente 
dx 1 = £ 1 öf, dx 2 — £ 2 ót, -■■6x n =£ n öt, 
d. h. sie ordnet jedem Punkte (x lf x 2 • • • x n ) eine gewisse infinitesimale Fort- 
schreitungsstrecke: