300 
Kapitel 14, § 8. 
Vii? + W + ■ • • + ä». 2 = di • J/|, 2 + {,»+ • •. + {.» 
wm'£ dm Projectionen ^St • • • '¡¡ n dt auf die n Coordinatenaxen zu. 
Der geometrische Beweis für den im vorigen Paragraphen angegebenen 
Satz 3 über die Einführung neuer Variabein in die Gruppe ist ganz analog 
den früher für die Fälle n — 2, 3 gegebenen Beweisen (vgl. § 1 des 
3. Kap., § 3 des 11. Kap.); Jede Transformation der Gruppe stellt im 
Raume von n Dimensionen eine Lagenänderung aller Punkte dar. Die 
Transformationen einer Schar bilden eine Gruppe, wenn die Aufeinander 
folge zweier dieser Lagenänderungen wiederum eine Lagenänderung liefert, 
die durch irgend eine Transformation der Schar bewirkt werden kann. Die 
Einführung neuer Veränderlicher in die Gruppe kann nun als Einführung 
eines neuen Coordinatensjstems in den Raum von n Dimensionen aufgefasst 
werden, die jene Lagenänderungen durchaus unberührt lässt, also auch die 
Gruppeneigenschaft nicht vernichtet. 
Führt man auf einen Punkt (x x • • • x n °) oder kurz (ä°) nach einander 
alle Transformationen der Gruppe aus, so gelangt er dadurch in oo 1 neue 
Lagen (x l} x 2 • • • x n ) oder {x\ die sich aus den Gleichungen: 
x i = <Pi (V • • * P», t), • • ■ = <Pn («i° • • • Xh°, 0 
• ergeben. Diese oo 1 Lagen bilden eine Curve, die Bahncurve des Punktes (x°). 
So gehört zu jedem Punkte (a?°) des Raumes eine Bahncurve. Ins 
besondere erkennt man leicht, dass der Satz gilt: 
Satz 7: Ist bei einer eingliedrigen Gruppe p 1 ein Punkt auf der Bahn 
curve von p 0 , so hat p x eben diese Curve auch zur Bahncurve. Eine ein 
gliedrige Gruppe des n-dimensionalen Baumes besitzt also oo n—1 Bahncurven. 
Der Beweis ist genau so wie in den Fällen n — 2,3, (§2 des 
4. Kap. und § 2 des 12. Kap.) 
Denken wir uns nun eine beliebige Transformation T a der Gruppe auf 
einen Punkt p einer Bahncurve ausgeführt, so geht er in einen Punkt 
(.p)T a auf derselben Bahncurve über. Dies gilt für alle Punkte der Bahn 
curve und für alle Transformationen der Gruppe, daher: 
Satz 8: Jede Bahncurve einer eingliedrigen Gruppe gestattet alle Trans 
formationen der Gruppe. 
Insbesondere ist auch sofort zu beweisen: 
Satz 9: Kennt man die endlichen Gleichungen einer eingliedrigen Gruppe, 
so kennt man auch ihre Bahncurven. 
Handelt es sich dagegen darum, die Bahncurven zu bestimmen, wenn 
nur die infinitesimale Transformation 
Vf=$ 
df 
1 dx x 
+ 1 
lf 
2 dx 2 
+ ••• + £« 
d_f 
dx n 
der Gruppe gegeben ist, so hat man zu beachten, dass ein Punkt {x x , x 2 ••• x n ) 
vermöge dieser infinitesimalen Transformation Uf in einen benachbarten 
Punkt seiner Bahncurve übergeftihrt wird, d. h. dass x x , x 2 ■ • • x n auf der 
Bahncurve um Incremente dx 1} dx 2 • • • dx n zunehmen, die proportional 
li, £ 2 • - • I»