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Kapitel 14, § 3. 
Sl{u x • • • w n _i) = 0 
stellt die allgemeinste Mannigfaltigkeit dar, welche von Integralcurven 
erzeugt wird. Demnach ist Q(u x • • • u n —x) die allgemeine Form eines 
Integrals von (10), sobald u x • • • u n —i irgend welche n— 1 von einander 
unabhängige Integrale bedeuten. 
Lin. part. 
Diffgl. 
(11) 
Betrachten wir nun die lineare partielle Diiferentialgleichung; 
_l_ t d f . . t d f 
^ + 12 WF, 
Uf: 
= 0. 
Lösung. Sie besitzt, wie man weiss, n — 1 von einander unabhängige Lösungen 
u x , u 2 ••• u n —i und jede Lösung f derselben ist eine Function von 
u x , w 2 • • • u n —i allein. Nach dem Obigen ist jede Lösung von (ll) ein 
Integral von (10), und umgekehrt. Natürlich giebt die obige Betrachtung 
keinen strengen Beweis, sie soll nur diese bekannte Thatsache geometrisch 
erläutern. Die oo B —1 Integralcurven des simultanen Systems (10) nennen 
wir auch, eine Bezeichung von Monge im Fall n = 3 auf beliebiges n 
CU risUk te ’ vera hgemeinernd, die Charakteristiken der linearen partiellen Differential 
gleichung (ll). Jede (n — l)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit 
(o(x x , x 2 - • • x n ) = 0, 
welche von oo n 2 Charakteristiken erzeugt wird, nennen wir eine Integral 
mannigfaltigkeit des Systems (10). Für eine solche ist 
Ueo 
t ILL _r 
dx t ' 
“f“ in 
8oo 
d 
vermöge co — 0. 
Nach dieser Einschaltung kehren wir zurück zur Betrachtung einer 
eingliedrigen Gruppe in n Veränderlichen. 
invariante Die Frage, wann eine Function Sl(x<, Xo • • • x n ) bei allen Trans- 
einer eingl . 07 . r . T . 
Gruppe, formationen der von der infinitesimalen Transformation Uf erzeugten 
eingliedrigen Gruppe 
X x —■ (f X (x x , ' * ' 'tOfi) t')} ’ ' ’ %n === (Pn(xi) ' * * CC n j t) 
invariant bleibt, also eine sogenannte Invariante ist, erledigt sieb sofort. 
Soll 
Sl{xf • - • xü) = &{x x • • • x n ) 
sein bei allen Transformationen der Gruppe, so folgt aus Theorem 26 
des § 2, dass für jedes t: 
&{x x - - -x n ) -f y UH{x x • • • x n ) -f- ^ U{ÜSl) -j = &{x x - - - x n ) 
sein muss, woraus als notwendige, aber, wie man sofort sieht, auch 
hinreichende Bedingung folgt: 
USi{x x •• • x n ) = 0. 
Theorem 27: Die Invarianten einer eingliedrigen Gruppe 
Uf sind die Lösungen der linearen partiellen Differential