Deutung der Beziehung: (UV) — 0. 
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Gruppe in den n Veränderlichen x ± • • • x n dann und nur dann, wenn sie 
die infinitesimale Transformation Uf der Gruppe gestattet. 
Wir sind nunmehr zu Ende mit der Aufzählung und dem Be 
weise der wichtigeren mit einer eingliedrigen Gruppe in n Veränder 
lichen verbundenen Sätze und können dazu übergehen, in ähnlicher 
Weise, wie dies in der 2. Abteilung für den Fall n — 2 geschah, die 
Beziehungen der eingliedrigen Gruppen zu Differentialgleichungen her 
zustellen. 
Vorher aber wollen wir noch eine Bemerkung über eine gewisse 
Beziehung zwischen zwei infinitesimalen Transformationen einschalten, 
die wir schon früher an einer Stelle flüchtig berührt haben. 
§ 4. Deutung der Beziehung: (Z7F) = 0. 
Führt man zwei Transformationen, S und T, nach einander aus, 
so ist es im allgemeinen nicht gleichgültig, in welcher Reihenfolge e ^™® r er 
dies geschieht; ST ist im allgemeinen verschieden von TS. Wenn Leonen' 
man z. B. in der Ebene zuerst eine Rotation und dann eine Trans 
lation ausführt, so ist das Ergebnis ein ganz anderes, als wenn man 
zuerst die Translation und darauf die Rotation ausgeübt hätte. 
f Die Aufeinanderfolge zweier infinitesimaler Transformationen ist ai ^foi ge 
allerdings gleichgültig, da wir bei diesen nur die unendlich kleinen fi^shnaier 
Grössen niedrigster Ordnung berücksichtigen: Die Function f wird von Dionen 
Uf in f -j- Ufdt verwandelt, diese weiterhin von Vf in: 
f+ Ufdt + V{f+ Uf 8f)8x 
oder also in f Ufdt-\- Vfdx, denn das mit dtdx behaftete Glied 
ist zu unterdrücken. Vertauschen wir Uf und Vf mit einander, so 
ergieht sich ebenderselbe Wert. 
Dem ist nicht stets so, wenn zwei endliche Transformationen 
S und T der von Uf und Vf erzeugten eingliedrigen Gruppen nach 
einander ausgeführt werden. Die erste Transformation S verwandelt 
eine Function f allgemein in: 
die zweite T dagegen in: 
(vgl. Theorem 26 des § 2). Um also die Function f" zu erhalten, in 
welche f vermöge der Aufeinanderfolge ST übergeht, haben wir T 
auf f auszuführen, also zu bilden: 
f' = f + \Yf + f^Y{rf)+---. 
Die, Differentialgleichungen. 
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