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Kapitel 15, 
§ 1. 
d m. 
8co 1 
dco l 
dx 1 
dx 2 
da. 2 
dco 2 
da> 2 
dx 1 
dx 2 
dx n 
= 0. 
d<0 n- 
1 du> n-1 
dc °n- 
dx x 
dx 2 
doc n 
df 
df 
df 
dx x 
dx 2 
dx n 
neu^Yer 8 Wir wollen auf unsere lineare partielle Differentialgleichung 
äußerlicher _ q eine Transformation ausführen, indem wir neue Veränderliche 
in A/=0. ' 7 
xf, x 2 • • • x,j vermöge der n Gleichungen: 
xf = <Pk(x 1; X 2 • • • X n ) (*=1,2... n) 
einführen. Dadurch geht Af über in: 
A 'f= Ax i w; + Ax * wf ■+ f Äx ’'' 
fvgl. § 2 des 14. Kap.). Die neue Differentialgleichung lautet also: 
Äf= Axf ¿4 + Ax 2 ^ f- Äx n ' = 0, 
worin natürlich Axf = Acp l} ■ ■ • Ax n ' = Acp n durch xf } x 2 • • • x n ' aus 
zudrücken sind. Für jede Function f besteht demnach vermöge der 
n Gleichungen xf — cpk die Relation 
Af = Äf 
identisch. Insbesondere ist also, wenn co eine Lösung von Af = 0 
ist, mit Aco = 0 auch Äca = 0, sobald co in den neuen Veränder 
lichen x geschrieben wird. Daher: 
Satz 1: Führt man in eine lineare partielle Differentialgleichung 
Af — 0 in den Veränderlichen x x • • • x n neue Veränderliche xf ■ ■ ■ xf ein, 
so geht jede Lösung der Differentialgleichung Af = 0 durch Einführung 
der neuen Variabein in eine Lösung der neuen Differentialgleichung über. 
Erhalten dabei n — 1 von einander unabhängige Lösungen co x {x) • • • co n ~. x (x) 
von Af = 0 die Formen cö 1 (x') • ■ ■ so erhält Af= 0 in den 
x die Form 
Aff ^ I . . . ° a n — i 8f _ ^ 
’ —8x 1 dx 2 ^ x n —i^ x n 
Wenn nun insbesondere die transformierte Differentialgleichung 
A'f = 0 bis auf einen unwesentlichen Factor p wieder die ursprüng 
liche Form hat, wenn also