Lineare partielle Differentialgleichungen, welche endliche Transf. gestatten. 311 
ist, so hat A'f — 0 offenbar die n — 1 von einander unabhängigen 
Lösungen co^x) • • • o w _i(x), die aus a^x) • • • con-^x) einfach dadurch 
hervorgehen, dass man überall x' statt x schreibt. Da nun auch 
c3 1 (x) ■ • • (x) n — 1 von einander unabhängige Lösungen von 
A'f — 0 sind, so müssen diese Functionen von jenen sein, d. h. es 
bestehen n — 1 Identitäten von der Form: 
G)i(xf • • • XÛ) = Sii («i(x) • • • to„_i(æ')) 
(i = 1, 2 • • • n — 1) 
oder also, es bestehen vermöge der Transformation x k — y k {x) gewisse 
n — 1 Relationen von der Form 
(OiiXy •••«*) = Sliia^x) • • • co«_i(aQ) 
(t = 1, 2 • • • « — 1) 
oder, nach den co{x) aufgelöst: 
(1) &i{xf • • • Xn) = Wi{o l (x) ■ • • C5«—! 0»)) 
(i = J, 2 • • • n — 1). 
Jede Lösung co(x) von Af = 0 wird dann durch die Transformation 
æ* = (p k {x) wieder in eine Lösung von Af = 0 übergeführt, nur ist 
überall x statt x geschrieben. 
Wenn andererseits n — 1 solche Relationen (1) bestehen, so hat. 
A'f = 0 die Lösungen co^x) • • • gj«_i(V), d. h. A'f muss bis auf einen 
unwesentlichen Factor q die Form von Af = 0 haben, nur dass überall 
x statt x geschrieben ist. 
Wir können also sagen: 
Satz 2: Eine lineare partielle Differentialgleichung Af = 0 bewahrt 
dann und nur dann bei Einführung neuer Variabein ihre Form bis auf 
einen unwesentlichen Factor, wenn diese Transformation jede Lösung von 
Af = 0 wieder in eine Lösung von Af = 0 überführt. 
Hiernach ist es gerechtfertigt, zu sagen: die Differentialgleichung^™™ 
Af — 0 gestattet eine vorgelegte Transformation, sobald diese Trans- .f/iäTst. 
formation ihre Lösungen unter einander vertauscht. 
Geometrisch gedeutet kommt dies darauf hinaus, dass die Transfor 
mation x k = cpkipc-L •••£«) im Raume (ifj • • • x n ) die Punkte einer jeden 
Charakteristik co 1 = Const., • • • = Const. von Af=0 wieder in die 
Punkte einer ihrer Charakteristiken überführt, kürzer gesagt, die Charak 
teristiken unter einander vertauscht. 
Beispiel: Sei 
Führen wir die neuen Veränderlichen 
Beispiel.