Die Multiplicatore« einer Gleichung Af = 0. 
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Jl_ /®1 «2 
“« \x 1 a: 2 
• • • 
1) 
«1 «2 
• • • “* 
ill ^12 
£i« 
£«—1,1 £«—1,2 
£«—i, n 
Die linke Seite aber ist nach (17) ein Multiplicator von Af = 0, die 
rechte Seite also auch. Da nun ein Multiplicator mit einer Lösung, 
wie 1 ß(ö 1 • • • co n —i), multipliciert wieder einen Multiplicator giebt, so 
ist in der That bewiesen: 
Theorem 32: Gestattet die lineare partielle Differential 
gleichung: 
AJ , 8f , df . , df 
Af = + • • • + «» ^ = 0 
n—1 infinitesimale Transformationen: 
Ujf= 
t IL 
* jl 8x t 
ILa- .c IL 
r * jn dx n 
u = 1, 2 • • • « — 1), 
welche zusammen mit Af keine lineare Relation 
gAf + Pi UJ -f- • • • + g n —i U n —if = 0 
erfüllen, in der die g Functionen von x 1 ■ • • x n oder Gonstanten 
sind, so ist 
a 2 ... a n 
^ . £ll ^12 * • • §1» 
\n—1,1 I5«—1,2 • • • Isn—l,n 
ein Multiplicator der Gleichung Af = 0. 
Dieses Theorem ist die directe Verallgemeinerung des Theorems 8 
(§ 1 des 6. Kap.) für beliebig viele Veränderliche, denn unser Jacobi’scher 
Multiplicator reduciert sich für n — 2 auf den Euler’schen Multiplicator. 
Unser Theorem giebt auch eine schöne anschauliche Deutung des Geo- 
Multiplicators, ähnlich der für n = 2 in § 1 des 9. Kapitels gegebenen .Deutung des 
Wir wollen dies für n — 3 zeigen, und wir bemerken dabei, dass sich ^atoM. 1 
diese Deutung auch auf beliebiges n unter Benutzung des Begriffes 
eines w-dimensionalen Raumes ausdehnen lässt. 
Es seien also x, y, z die drei Veränderlichen und 
a f— v QL _i_ v QL _i_ / QL o 
A ' — X dx + Y 8y z dz 0 
eine lineare partielle Differentialgleichung, welche die beiden infini 
tesimalen Transformationen 
Die, Differentialgleichungen. 
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