Die Multiplicatoren einer Gleichung Af — 0. 
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längs dieses Fadens constant sein. Sie ist aber gleich dem Inhalt 
des Querschnittes, multipliciert mit der Geschwindigkeit und der Zeit 
dt, also multipliciert mit: 
ät = dt w+r+r. 
und daher der Rauminhalt eines nach Satz 9 zu construierenden Raum 
elementes mit dem Querschnitt c. Mithin besitzt nach unserem Satze 
die Gleichung Af = 0 nur solche Multiplicatoren, welche längs jeder 
Charakteristik constant sind, insbesondere also den Multiplicator 1. 
Wenn sie umgekehrt den Multiplicator 1 hat, so ist jeder andere 
Multiplicator, da er aus diesem durch Multiplication mit einer Lösung 
von Af— 0 hervorgeht, längs jeder Charakteristik constant und die 
Bewegung die gewünschte. Damit also unsere Gleichungen eine sta 
tionäre Strömung einer incompressibelen Flüssigkeit darstellen, ist 
notwendig und hinreichend, dass sie den Multiplicator 1 besitzen. 
Weil die Multiplicatoren auch definiert werden können als die Lö 
sungen M der partiellen Differentialgleichung 
dMX dMY , dMZ 
dx ‘ dy ' dz ’ 
so ergiebt sich schliesslich als notwendige und hinreichende Bedingung: 
^_J_H 4-^ = 0 
dx ' dy ‘ dz ’ 
die in der Kinematik in anderer Weise abgeleitet wird. 
2. Beispiel: Die Differentialgleichung 
A f= x r*+ Y Ty + z ^-° 
definiere die oo 2 Curven, welche eine Schar von oo 1 Ebenen senkrecht 
durchschneiden. Es ist sehr leicht, einen Jacobi’schen Multiplicator 
dieser Gleichung anzugeben. Wählt man nämlich den in unseren 
obigen allgemeinen Entwickelungen mit c bezeichneten Querschnitt 
irgend wie auf einer jener oo 1 Ebenen E, so ist der entsprechende 
Querschnitt c auf der unendlich benachbarten Ebene E' der Ebenen 
schar bis auf unendlich kleine Grössen von vierter Ordnung gleich c, 
da c selbst von zweiter Ordnung und der Cosinus des Neigungswinkels 
der beiden Ebenen E und E' von 1 nur um eine unendlich kleine 
Grösse zweiter Ordnung unterschieden ist. Daraus folgt, dass der 
Querschnitt constant ist längs der ganzen Röhrenfiäche. Mithin ist 
nach Satz 9 die Grösse 1 : ]/X 2 -f-■ Y 2 Z 2 selbst ein Multiplicator 
der vorgelegten Gleichung.