342
Kapitel 15, § 5.
3. Beispiel: Man kann sich fragen, unter welcher Bedingung die
Charakteristiken der Gleichung
Af=X^-+ + = 0
' dx 1 dy 1 dz
so beschaffen sind, dass eine von Charakteristiken erzeugte unendlich
dünne Röhrenfläche überall einen Querschnitt von derselben Grösse
hat, der Querschnitt dabei senkrecht zu den Charakteristiken gedacht.
Nach Satz 9 hat die Gleichung Af — 0 in einem solchen Falle den
Multiplicator 1: ]/X 2 -j- Y 2 -f- Z 2 . Wenn sie umgekehrt diesen Mul
tiplicator hat, so sind die Rohrenflächen überall gleich stark. Not
wendige und hinreichende Bedingung ist demnach, dass
1:]/P + Y 2 -f Z*
Multiplicator sei, d. h. dass
d_ X d JF _a 0
dx yx* + Y 2 + Z 2 ' dy 'dz j/x 2 + Y 2 -\- Z %
sei. Beispiel 2 ist ein Specialfall hiervon.
Der Zusammenhang zwischen den Multiplicatoren und infinitesimalen
Transformationen der Gleichung Af = 0 gestattet, in einfacher Weise
einen wichtigen Satz aus der Multiplicatortheorie abzuleiten. Wir schicken
zunächst folgenden Satz voraus:
Satz 10: Eine lineare partielle Differentialgleichung A f — 0 in n Ver
änderlichen gestattet sicher n— 1 infinitesimale Transformationen U x f ••• U n —\f,
welche zusammen mit Af keine lineare Eelation
(*Af -f- U\f -j- • • • -f- g n —i U n —if= 0
erfüllen.
Zum Beweis dieses schon früher erwähnten und benutzten Satzes seien
Wj • • • co n _i ein System von n — 1 von einander unabhängigen Lösungen
der Gleichung Af — 0. Sind sie etwa hinsichtlich x i • • • x n —\ von ein
ander unabhängig, so können wir sie als neue Veränderliche zusammen
mit x n benutzen:
(t0) Ex 5 " E«—i a) n —x, E« '■ == x n .
Die Gleichung Af — 0 geht dadurch über in
9l/'=|£- = 0.
Nur für diese braucht der Satz 10 bewiesen zu werden, denn die Trans
formation (19) führt jede infinitesimale Transformation Uf welche Af = 0
invariant lässt, in eine solche U f über, die 51/‘=0 invariant lässt. Nun
gestattet offenbar 51 f = 0 die infinitesimalen Transformationen
Vif
lln-lf
Cf
d h-l
;
und zwischen diesen und 5tf besteht in der That keine lineare Relation.
