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Kapitel 15, § 5. 
vermöge der Gleichungen (20). Nach Theorem 32 ist die linksstehende 
Determinante der reciproke Wert eines Multiplicators von 21/ = 0 und 
die erste rechtsstehende der reciproke Wert eines solchen M von Af= 0, 
während die letzte Determinante die Functionaldeterminante von 
hinsichtlich x x • • • x n ist. Daher kommt: 
(21) 9T M 
/Ei i Es E re \ 
V®1 i ^2 " ' n ' 
Der allgemeinste Multiplicator von Af= 0 ist gleich M, multipliciert mit 
irgend einer Lösung von Af — 0. Da vermöge (20) jede Lösung von 
Af = 0 in eine solche von 21/ = 0 übergeht, so gilt die Formel (21) 
für irgend einen Multiplicator ilf von Af — 0, und so ist der Jacobi’sche 
Satz auf einem neuen Wege bewiesen: 
Multiplica- Satz 11: Ist M ein Multiplicator der linearen partiellen Differential- 
Eiuführunggleichung Af = 0 in den Veränderlichen x x ,x 2 ---x„, und führt man in 
neuer Var. f = o vermöge einer Transformation an Stelle von x x • ■ • x„ neue Ver 
änderliche £, • • • in ein, so besitzt die hervorgehende Differentialgleichung 
21/ — 0 den Multiplicator: 
M 
/Ei, Es ' • • E w \ ’ 
\x x , x 2 x n ) 
wenn dieser Ausdruck in geschrieben wird. 
Eine schöne Anwendung lässt sich von diesem Satze, der übrigens 
vermöge der geometrischen Deutung des Multiplicators nahezu selbstver 
ständlich erscheint, dann machen, wenn man annimmt, eine vorgelegte 
Differentialgleichung in x x • • • x n 
A n df , 
Af =^W x + 
, d f 
besitze einen bekannten Multiplicator M und gestatte eine bekannte infini 
tesimale Transformation 
+ s IL 
^ s “ dx. ’ 
sodass nach Theorem 29 des § 2 
(22) (UA) = X-Af 
ist. 
Die infinitesimale Transformation Uf oder: 
(23) l x = x x -\-% x öt, ••• 8»=«, + ! n dt 
führt die Gleichung Af — 0 in eine Gleichung 21 f = 0 über, die wir zu 
nächst berechnen müssen. Es ist 
Aii H f~ Aln di n ' 
Nun aber ist