346 
Kapitel 15, § 5. Kapitel 16. 
wiv wissen, dass der Quotient zweier Multiplicatoren eine Lösung oder 
eine Constante ist. (Vgl. Seite 334, 335.) Daher ist 
i-|p(igaf) + |i + ... + g + i}i ( 
öder also auch 
eine Lösung von Af = 0 oder aber eine Constante. 
Satz 12:*) Ist M ein Multiplicator und 
Ableitung 
einerljösung 
aus einem 
Mult, lind 
einer inf. Trf. 
eine infinitesimale Transformation der linearen partiellen Differentialgleichung 
Af — 0, sodass 
(TJA) = l Af 
ist, so ist 
eine Lösung der Gleichung Af — Ö oder aber eine Constante. 
Die Kenntnis eines Multiplicators und einer infinitesimalen Transfor 
mation der Gleichung Af — 0 führt also unter Umständen zu einer Lösung 
dieser Gleichung. Dass dem so sein muss, ergiebt sich kürzer aus der 
geometrischen Interpretation. Beschränken wir uns auf den Fall n = 3, 
so ist nach Satz 9 der Multiplicator M der reciproke Wert des Inhaltes 
eines gewissen zwischen Charakteristiken liegenden Raumelementes, bis 
auf eine Grösse 6 t 3 . Die bekannte infinitesimale Transformation Uf von 
Af= 0 führt diese Charakteristiken wieder in Charakteristiken, das Eaum- 
element also wieder in ein solches über und führt somit zu einem eventuell 
neuen Multiplicator von Af — 0. Der Quotient beider Multiplicatoren aber 
giebt eine Lösung oder eine Constante. Der hier angedeutete geometrische 
Beweis ist oben in analytischer Form ausgeführt. - 
Hierbei wollen wir noch hervorheben, dass die Verwertung der geo 
metrischen Deutung des Multiplicators ohne grosse Mühe auch zu dem 
sogen. Principe des leisten Multiplicators und den übrigen damit zusammen 
hängenden Multiplicatorsätzeu führt. 
Beispiel. Beispiel: Unser Satz 12 soll durch ein einfaches Beispiel illustriert 
werden. Gegeben sei die Differentialgleichung:- 
Dieselbe besitzt einen leicht zu findenden Multiplicator. Der Multiplicator 
M muss ja die Gleichung erfüllen: 
*) Lie, Allgemeine Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster 
Ordnung. 2. Abhandlung, Math. Annalen, Bd. 11 (1877), Satz 16, S. 508.