— 
Die Multiplicatoren einer Gleichung Af = 0. 
347 
oder ausgerechnet: 
d \g m , m aig m v + V £ i gM 
X, —A' -4 Xo 
1 0 x, 1 J 
dx 2 x 3 dx 3 
Hiernach giebt es einen von x 3 freien Multiplicator, der die Gleichung 
8 lg M d\gM _ _ 
Xl dx 1 t X2 dx 2 
erfüllt, denn dieser Gleichung wird durch 
M = 
Xi x% 
genügt. 
Ferner gestattet Af = 0 die infinitesimale Rotation um die # 3 -Axe: 
Uf = 
df , df 
Xo 5 X 1 
1 OX, 1 1 
dx 9 
da (UA)~ 0 ist. Daher ist auch nach Satz 12: 
dx. 
dx, 
d lg x,x 2 d lg x,x 2 dx 2 , dx x 
Xo ö x-, — 4 0 - 
dx. 
d x<. 
oder also 
X 
ein Integral von Af = 0. Es ist dies eine Function von — 1 allein, und 
Xa 
in der That ist A — = 0. 
Xo 
Kapitel 16. 
Gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung in x, y, 
welche eine eingliedrige Gruppe gestatten. 
Im 6. bis 8. Kapitel haben wir gewöhnliche Differentialgleichungen 
erster Ordnung in x } y betrachtet, welche eine eingliedrige Gruppe in 
den Veränderlichen x, y gestatten. Später, im 13. Kapitel, haben 
wir die betreffenden Theorien in neuer Weise dargestellt, indem wir 
die Punkttransformationen durch Hinzufügung der Transformationen 
des Differentialquotienten y erweiterten. 
In entsprechender Weise werden wir im gegenwärtigen Kapitel 
die gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung in x, y, welche 
Transformationen in diesen Veränderlichen gestatten, dadurch behan 
deln, dass wir diese Transformationen zweimal erweitern, d. h. die Trans 
formationen hinzunehmen, welche y und der zweite Differentialquotient 
y" erfahren. Dadurch werden die sich darbietenden Probleme auf 
schon erledigte Probleme zurückgeführt.