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Kapitel 16, § 1. 
Eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y 
definiert oo 2 Curven der Ebene (x, y). Es wird sich daher zum bes 
seren Verständnis empfehlen, zunächst Scharen von oo 2 Curven der 
Ebene zu betrachten, welche eine Punkttransformation gestatten. 
§ 1. Scharen von oo 2 Curven der Ebene und Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung, welche eine Punkttransformation gestatten. 
Kurven, Line Schar von oo 2 Curven der Ebene {x, y) wird durch eine 
^geautte 1 ^ Gleicllun g in x } V dargestellt, welche zwei Parameter a, b enthält: 
co (x, y, a, b) = 0. 
Natürlich müssen beide Parameter wesentlich sein, d. h. es muss un 
möglich sein, co(x, y, a, b) auf eine Form co(x, y, X(a, &)) zu bringen, 
denn sonst würde unsere Gleichung in Wirklichkeit nur einen Para 
meter X enthalten, also nur oo 1 Curven darstellen. 
Liegt nun überdies eine Punkttransformation 
Xi = <p(x,y), y t = ip{x, y) 
vor, so ist es denkbar, dass diese jede Curve der Schar wieder in eine 
Curve derselben überführt, mit anderen Worten, dass die Schar die 
vorgelegte Transformation gestattet. 
Einige Beispiele werden dies erläutern. 
Bespiele. 1, Beispiel: Die Schar der oo 2 Geraden der Ebene gestattet eine 
beliebige Rotation der Ebene um den Anfangspunkt. Einmal ist dies 
geometrisch klar, denn die Rotation führt jede Gerade wieder in eine 
Gerade über. Es lässt sich aber auch analytisch nachweisen: Die 
Schar der oo 2 Geraden wird dargestellt durch 
y — ax — b — 0, 
die vorgelegte Rotation durch: 
x x = x cos « — y sin a, y x == x sin « -j- y cos «. 
Stellen wir zwischen x, y die Beziehung 
y — ax — 6 = 0 
her, so besteht auch zwischen x t und y x eine lineare Gleichung. Es 
kommt ja zunächst wegen y = ax -j- b: 
x i = ^(cos a a sin «) — b sin «, 
y v — ¿c(sin cc -f- a cos a) b cos er, 
oder also nach Elimination von x: 
x 1 (sin a -f- a cos a) — y x (cos a — a sin a) = — b sin a (sin a -f- a cos a) — 
— b cos «(cos « — a sin «) = — b