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Kapitel 16, § 1. 
Satz 1: Nimmt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zwischen 
x, y: £l(x, y, y, y") — 0 vermöge einer Transformation 
Xi = cp(x,y), y x = t(x,y) 
in den neuen Veränderlichen x x , y x die Form £l x (x,, y 1} yf, yf') — 0 
an, so führt diese Transformation die Schar der Integralcurven von £1 = 0 
in die der Integralcurven von £1, = 0 über. 
Hieraus folgt als Zusatz: 
Satz 2: Eine Differentialgleichung £i(x, y, y, y") = 0, deren Inte 
gralcurven durch die Gleichung a (x, y, a,b) = 0 dargestellt werden, bann 
hei Einführung neuer Veränderlicher vermöge der Transformation 
x i = <p( x , y), Vi = y) 
dann und nur dann wieder in der Form Sl (x x , y 1 , yf, yf) = 0 ge 
schrieben werden, wenn die Schar der Integralcurven ca = 0 die Trans 
formation gestattet. 
Wir werden also auch dann die Redeweise gebrauchen können, 
dass die Differentialgleichung £1 = 0 die Transformation x x = (fix, y), 
Vi = y) gestatte. 
Beispiel. Beispiel: Die Differentialgleichung 
y" = 0 
hat die Integralcurven: 
y = ax -f- b, 
d. h. die Geraden der Ebene. Diese Geraden werden bei der Rotation 
x x — x cos a — y sin cc, y x = x sin a -j- y cos a 
unter einander vertauscht, wie wir schon in früheren Beispielen her 
vorhoben. Es ist hier: 
dyj dx • sin cc -J- dy • cos a sin cc -f- y cos a 
dx x dx ■ cos a — dy • sin cc cos cc — y sin cc 
also 
sin cc -\- V cos a 
cos a — y sin a 
dx, dx • 
dx • cos cc — dy • sin cc 
(cos cc — y sin cc) ■ d y • cos a -J- (sin a -f- y cos cc)-dy • sin cc 
1 
dx-cosce — dy sin cc 
(cosa —y sina) 2 
1 
dy 
y 
(cos a— y sin cc) 2 
(cosa — y sina) : 
dec cosa — dy - sina 
Die aus y" — 0 hervorgehende Differentialgleichung unterscheidet sich 
also von yf'— 0 in der That nur um einen unerheblichen Factor. 
Bei unserer Transformation 
(2) 
x i = <Pi x ,y), yx = 4>( x , y) 
ist: