Scharen von oo 2 Curven u. Diffglgn. 2. 0., welche eine Punkttrf. gestatten. 353 
^ = g>)-+y<(y) = y( x y y'\ 
dx x dcp cp (x) -j- y cp' (y) y J J 
und also: 
d i>'(x) + y'ip’jy) 
y" = ä lL = 9 ( g ) + y’v'jy) = d%(x, y, y) _ 
" 1 diCj dXy d(p 
Rechnet man dies aus, so erhält man, indem man =«/" setzt, 
CL OC 
y" dargestellt als Function von x, y, y, y", sagen wir etwa so: 
y" = &(x,y, y,y"). 
Um nun die Differentialgleichung zu erhalten, in welche die vorgelegte 
ß 0, y, y, y) = o 
durch Einführung der neuen Veränderlichen x x , y x vermöge (2) über 
gabt, haben wir aus der vorgelegten x, y, y\ y" vermöge der vier 
Gleichungen 
(3) X 1 = <p{x,y), y 1 =t(x,y), y x =x{x,y,y), yf = &(x, y, y, y") 
zu eliminieren, mit anderen Worten; Wir haben auf die Gleichung 
y, y, y) = o 
in den vier Veränderlichen x, y, y, y" die Transformation (3), welche 
diese vier Veränderliche x, y, y, y" in x x , y 1} yf, y" überführt, aus 
zuüben. Wenn dann die hervorgehende Gleichung zwischen x x , y 1} yf, y” 
sich deckt mit - 
^ O^i i Vi y yi y Vi ) “ 0, 
so gestattet die Differentialgleichung 
&0, y, y, y") = 0 
die Ptm/citransformation (2). 
In § 1 des 13. Kapitels haben wir schon die Transformation in 
den drei Veränderlichen x, y, y: 
x i = <p( x , y), yi = y), yi— %(p, y, y), 
wo 
_ -f y'ip’iy) 
1 <p'GO + yy\y) 
ist, betrachtet. Wir bezeichneten sie damals als die Transformation 
der Linienelemente (x, y, y) der Ebene oder als die Erweiterung der 
Punkttransformation (2). Schärfer wollen wir sie jetzt als die ein 
malige oder erste Erweiterung der Punkttransformation (2) bezeichnen 
und dementsprechend die Transformation (3) der vier Veränderlichen 
x, y, y } y" die zweimalige oder zweite Erweiterung der Punkttrans- 
formation (2) nennen. 
Lie, Differentialgleichungen. 
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