Zweimal erweiterte eingliedrige Gruppe. 
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eingliedrigen Gruppe gestatte, verlangt zunächst, wie aus den Ent 
wickelungen des vorigen Paragraphen hervorgeht, eine Betrachtung 
aller Transformationen, welche durch zweimalige Erweiterung aus den 
Transformationen einer eingliedrigen Gruppe in x, y hervorgehen. Diese 
Untersuchung ist der in § 2 und 8 des 13. Kapitels gegebenen sehr 
ähnlich. 
Es sei eine eingliedrige Gruppe von Punkttransformatiouen der 
Ebene (x, y) in ihren endlichen Gleichungen vorgelegt: 
(4) x x = cp (x, y,a), y l = f (x, y, a). 
Wir erweitern die allgemeine Transformation T a derselben, indem wir 
die Transformation berücksichtigen, welche y erfährt. Die dadurch 
hervorgehenden Gleichungen: 
(5) x, = <p(x, y, a), y x = y, a), yf = j^ = X 0, V, y\«) 
stellen, wie in § 2 des 13. Kapitels bewiesen wurde, wieder eine ein 
gliedrige Gruppe und zwar eine eingliedrige Gruppe von Transforma 
tionen der Liuienelemente x, y, y dar. Wenn also die Reihenfolge 
der beiden Transformationen T a und T Ul der Gruppe (4) die Trans 
formationen Tx{a, aj ) derselben liefert, so ist auch die Reihenfolge der 
beiden Transformationen Tf und T a ' der Gruppe (5), die den Para 
meterwerten a und a x entsprechen, äquivalent der Transformation 
Tx( a , ai ) der Gruppe (5), die zum Parameterwert l{a, af) gehört, d. h. 
die Gleichungen: 
(5) Xl = cp(x, y, d), y x = i>{x, y, a), yf = %{x, y, y, a) 
und 
(5') x 2 = <p{x lt y lt af), y 2 = y if af), yf = %(x lf y 1} yf, af) 
liefern, wenn aus ihnen x l} y x , yf eliminiert werden: 
(5") x 2 = cp(x, y, X(a, af)), y 2 = ^{x, y, l{a, aff), yf= %(x, y, y, l(a, a,)). 
Erweitern wir nun die gegebene Gruppe (4) zweimal, indem wir 
auch die Transformationen von y' berücksichtigen, so ergeben sich 
oo 1 Transformationen in x, y, y, y": 
(6) x x = cp ix, y,a), y 1 = il> {x, y, a), yf = % (x, y, y, a), 
yf = = H®,y,y, y"> «)• 
Wir behaupten, dass auch diese eine eingliedrige Gruppe bilden. 
Zum Nachweis führen wir nach der Transformation Tf, die zum 
Parameterwert a gehört, die zum Wert a x derselben gehörige T a " der 
Schar (6) aus, setzen also: 
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