Andere Integrationsmethode, weitere Ausführungen, Beispiele. 
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« = V = y», 2/" = y(w + »*) = 2/ (^ + ^) 
substituiert wird, über in 
% + V* + x,(u)v + X(«) = o. 
Dies ist eine Uiccati’sehe Gleichung zwischen u und v. Ist sie inte 
griert, so findet man alsdann durch eine Quadratur das Integral der 
vorgelegten Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese Reduction 
ist übrigens längst bekannt. 
§ 6. Andere Integrationsmethode für Differentialgleichungen zweiter 
Ordnung mit bekannter infinitesimaler Transformation. Weitere 
Ausführungen und Beispiele. 
Wir gaben im vorigen Paragraphen eine Methode an, wie man 
zur Integration einer vorgelegten Differentialgleichung £l(x, y, y, y") = 0 
mit einer bekannten infinitesimalen Transformation Uf verfahren kann. 
Ein zweiter Weg ist nun dieser: Wir führen canonische Veränder 
liche der Gruppe Uf ein. Dies verlangt ausser der Integration der 
Differentialgleichung 
dx dy 
§ V 
nur eine Quadratur (vgl. Satz 4, § 2, Kap. 3). Seien £, t) die neuen 
Veränderlichen. Uf nimmt durch Einführung derselben die Form 
~ an. Nach dem 1. Beispiel des § 5 (und nach Satz 4, § 1 dieses 
Kapitels) muss alsdann £l{x, y, y, y") — 0 notwendig übergehen in 
eine Gleichung von der Form 
die wir durch Auflösung der 'in £, l) geschriebenen Gleichung ii = 0 
nach t)" = ~ erhalten. Es ist dies eine Differentialgleichung erster 
Ordnung zwischen 1/ und £, nach deren Integration eine Quadratur 
liefert. 
Demnach verlangt dies zweite Verfahren zur Integration von 
£i — 0 nach einander die Integration einer Differentialgleichung erster 
Ordnung, eine Quadratur, die Integration einer zweiten Differential 
gleichung erster Ordnung und endlich noch eine Quadratur, d. h. genau 
ebensolche Operationen wie das erste. Factisch ist ja auch diese Me 
thode nur ein specieller Fall der früheren, denn j ist genau dasselbe 
wie das frühere u und