386 
Kapitel 16, § 6. 
bei der infinitesimalen Transformation % -j- rj ~ ausser x, y noch y 
Es sollen aber | und rj frei von y sein. Dies Kriterium zerfällt also 
in eine Anzahl von Differentialgleichungen zur Bestimmung von | 
und r], da es für jedes y bestehen muss, und es ist, wie unser obiges 
Beispiel lehrt, wohl möglich, dass diese Gleichungen sich nur durch 
| = 7] = 0 erfüllen lassen. 
Weil jene Bedingung bei gegebenem ca in eine Anzahl Relationen 
zwischen £, 7] und ihren Differentialquotienten zerfällt, ist es anderer 
seits häufig leicht, eine oder einige infinitesimale Transformationen 
anzugeben, welche y" — ca = 0 gestattet. Wir werden dies an einem 
unten folgenden Beispiele sehen. 
Veraiige- Wir geben hier in aller Kürze die Verallgemeinerung des Theorems 36 
ler Ergeh- des § 5 für Differentialgleichungen höherer Ordnung an. Es liege eine 
msse. infinitesimale Puukttransformation 
Uf= £(>, y) v (x, y) | f y 
vor. Wir können nach allen Differentialgleichungen m tei Ordnung: 
y m — Sl(x, y, y • • • y( m ~- l )) = 0 
fragen, welche TJf gestatten. Wir fanden, dass man, um alle Differential 
gleichungen zweiter Ordnung zu erhalten, welche bei Uf invariant bleiben, 
so vergehen kann: Man bestimmt die Invariante u von TJf und eine y 
enthaltende Invariante v der einmal erweiterten Gruppe U' f. Alsdann ist 
dv . . 
u eine Invariante der zweimal erweiterten Gruppe U f und 
dv n _ 
-j Q(u. v) — 0 
du ' ’ J 
die allgemeinste gesuchte Differentialgleichung zweiter Ordnung. Um nun 
invariante Differentialgleichungen dritter Ordnung zu erhalten, hat man die 
eine Invariante der dreimal erweiterten Gruppe ZI"' f gleich Null zu 
du du 
tende Invariante ist, also jede andere eine Function von u, v, und 
’ du 
■j-z sein muss. Demnach ist: 
die allgemeinste gesuchte Differentialgleichung dritter Ordnung. 
So findet man überhaupt, dass die allgemeinste Differentialgleichung 
m iet Ordnung 
y (m) — Sl(x, y, y • • • 2/ ( ™-i)) = o, 
welche Uf gestattet, die Form hat: