Andere Integrationsmethode, weitere Ausführungen, Beispiele. 387 , 
') ( dv d m 2 iA 
7 (D\ U, V, 3—, • • • 5 1 = 0. 
1 \ du’ du m ~V 
du m ~ y \ ' au du 
Aufgefasst als Differentialgleichung in u und v ist sie nur von (m — l) ter 
Ordnung. 
Liegt eine Differentialgleichung m ter Ordnung 
y(m) — £l(x,y,y'‘ ° • y^ m ~ 1) ) = 0 
vor, welche eine bekannte infinitesimale Punkttransformation Uf gestattet, so 
wird man also durch Integration der gewöhnlichen Differentialgleichung 
erster Ordnung 
dx dy 
S V 
ihr Integral u bestimmen, alsdann in bekannter Weise vermöge einer 
Quadratur v berechnen und nun die vorgelegte Differentialgleichung auf 
die Form 
d m - x 
du m ~ 1 
bringen, was nur ausführbare Operationen erfordert. Es ist dies eine 
Differentialgleichung (m — l) ter Ordnung in u und v. Hat man sie inte 
griert, also etwa gefunden: 
V f(u> ) Cg * • • Cm—i) === 0, 
so stellt diese Integralgleichung, aufgefasst als Differentialgleichung erster 
Ordnung zwischen x und y, eine bei Uf invariante Gleichung vor. Mithin 
bestimmt sich schliesslich y als Function von x und m Coustanten durch 
eine weitere Quadratur. 
1. Beispiel: Yorgelegt sei 
Hier kann, wie wir wissen; 
gesetzt werden, also; 
= X, v - 
dv ,, 
füu = V ’ 
sodass die allgemeinste Differentialgleichung m ter Ordnung, welche Uf ge 
stattet, die Form hat: 
y{m) _ yf y" ... y[m-1)) __ 0, 
d. h. frei von y ist. In der Form geschrieben: 
dx m ~ x V’*"*®' dx v 
ist sie eine Differentialgleichung (m — l) tor Ordnung zwischen x und y