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Kapitel 16, § 6. 
Lineare 
Di ff gl. 
r* ter Ordn. 
2. Beispiel: Sei 
(23) yW + H h X x y + X 0 = 0, 
wo X m _x • • • X t , X 0 Functionen von x allein bedeuten, eine vorgelegte 
lineare Differentialgleichung m ter Ordnung und z eine bekannte particulare 
Lösung der sogenannten verkürzten Gleichung zwischen x, z: 
(24) *<«) + X m _^ m ~^ -\ |- X x z = 0. 
Alsdann ist mit y auch y -f- z • Const. eine Lösung von (23), d. h. die 
Differentialgleichung (23) gestattet die infinitesimale Transformation 
Uf: 
, \ d f 
Z(x) q , 
v ' CX 
welche y um zöt vermehrt. Uf hat die Invariante u = x und die Diffe- 
rentialinvariaute v = zy —zy. Die Gleichung (23) lässt sich daher als 
Differentialgleichung (m — l) ter Ordnung zwischen u und v schreiben. Da 
u = x, v = zy — zy, 
u. s. w. und somit 
dv __ , 
d~u = Z y 
rr d/^ v 
"r I / r. 
z y + zy 
ff r 
■z y 
y 
V . z 
7 + 7 3 '’’ 
y 
1 d v . %" 
zdu'z 
y 
1 d 2 v 
z du 2 
z’ dv , z" , z'" 
-s — *4" “v v -| y 
z* du 1 z 2 1 z v 
u. s. w. ist, und da z überdies die Gleichung (24) identisch erfüllt, so 
stellt sich die neue Gleichung als eine lineare Differentialgleichung (m — l) ter 
Ordnung zwischen u und v dar. Diese Eeduction ist längst bekannt. 
Verkürzte ,5. Beispiel: Die verkürzte lineare Differentialgleichung 
m ter Ordn. y(m) -|_ X m — 1 y^ m ~ 1 ^ -j- • • • -j- XylJ = 0 
gestattet die infinitesimale Transformation 
v f = »TTr- 
denn mit y ist auch y • Const, eine Lösung derselben. 
Variante u = x und die Differentialinvariante v = — • 
y 
die vorgelegte Gleichung auf eine Differentialgleichung (m 
zwischen u und v zurückführen. Es ist zu setzen 
Uf hat die In- 
Also lässt sich 
— l)ter Ordnung 
x — u x y — vy t y 
dv . , 
y 
(£ + »•£ + •*) 
u. s. w. Macht man diese Substitutionen, so hebt sich der Factor y 
überall fort und es ergiebt sich in der That eine Differentialgleichung 
(m — l) ter Ordnung zwischen u und v, die aber nicht linear ist. Auch 
diese Eeduction ist lange bekannt. 
Was für die Differentialgleichungen zweiter Ordnung schon galt, gilt 
in noch höherem Grade für die höherer Ordnung: Es giebt Differential 
gleichungen m ter Ordnung, welche keine infinitesimale Punkttransformation 
gestatten.