Andere Integrationsmethode, weitere Ausführungen, Beispiele. 
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jene Relation noch !n mannigfacher Weise abgeändert werden, je 
nachdem man diese oder jene Bestimmungsstücke als Coordinaten der 
Punkte (x, y) und (x 1} yf) benutzt. Einige Beispiele sollen dies er 
läutern. 
Man soll alle Curven finden, welche durch eine Relation zwischen 
Radiusvector r des Curvenpunktes, Krümmungsradius p desselben und 
dem Winkel ^ des Radius- 
vectors r mit dem Krümmungs 
radius p definiert werden: 
&(r, p, il>) = 0. 
(Pig. 33.) Es ist klar, dass 
eine solche Curve bei einer 
notation um den Anfangspunkt 
in eine ebensolche übergehen 
muss. Ihre Differentialglei 
chung gestattet mithin die infinitesimale Rotation —y ^-f- x 
Zur Integration werden wir canonische Veränderliche dieser Rotation 
einführen, also Polarcoordinaten, den Radiusvector r und den Winkel cp 
desselben mit der x-Axe. Nach den zu Anfang dieses Paragraphen 
gemachten Bemerkungen muss alsdann die Differentialgleichung, ge 
schrieben in r, cp, die Form haben 
cp" — <5(r, cp') = 0, 
wo (p — ^, cp" — ~ ist. Sie stellt sich also als Differentialglei 
chung erster Ordnung zwischen r und cp dar. Ihre Integration liefert 
etwa: 
cp — co (r, a) 
und eine Quadratur: 
cp = po(r } a)dr -j- b, 
daher: Ist eine Curvenschar in der Ebene dadurch definiert, dass eine 
Relation zwischen Radiusvector, Krümmungsradius und dem Winkel 
beider besteht, so verlangt ihre Bestimmung nur die Integration einer 
Differentialgleichung erster Ordnung und eine Quadratur. 
Wir wollen mit t den Winkel der Tangente der Curve mit der 
x-Axe bezeichnen. Angenommen, es bestehe eine Relation zwischen 
x, x und p: 
£l(x, t, p) = 0. 
Wenn wir eine solche Curve längs der y-Axe verschieben, so bleiben 
x, x und p ungeändert, d. h. sie geht in eine ebensolche Curve über. 
Mithin gestattet die Differentialgleichung der Curvenschar die infini-