394 
Kapitel 17, § 1. 
( Vi Wf) = dnVJ -J- • • • -j- CCiqVqf, 
(ViW 2 ) = ßnVJ + • • • + ßiqVqf 
(i — 1, 2 • • • q) , 
wo die a und ß irgend welche Functionen der Veränderlichen bedeuten 
sollen, so besteht auch zwischen jedem Vf und (W x W 2 ) eine solche 
JRelation: 
WW W 2 )) = Y nVJ + • • • + y iq V q f 
wo die y Functionen der Veränderlichen sind. 
Der Beweis liegt in der Jacobfischen Identität (vgl. § 4 des 
10. Kapitels). Es besteht nämlich identisch die Relation: 
((V w t ) W 2 ) + ((Wi W % ) r,) + ((W 2 V,)W t ) = 0. 
(F t IFj) und (ViWf) sind nach den Voraussetzungen unseres Satzes 
linear ausdrückbar durch V i f--- V q f, sodass: 
{(ViWJW,) = TF 2 ) -f • •. + *iq(V q W 2 ) - 
— W 2 a n • V x f — W 2 a iq • V q f 
wird. Hierin sind nach den gemachten Voraussetzungen die 
(Fi TF 2 ) • • • (F 2 TF 2 ) 
lineare Ausdrücke der V x f • • • V q f und die TF 2 a {j gewisse Functionen 
der Veränderlichen, d. h. auch ((V i W 2 )W 1 ) drückt sich linear durch 
Fj f- ■ ■ V q f aus. Dasselbe gilt von (( W 2 Vf Wf) oder — ((FIF 2 ) Wf). 
Die obige Jacobi’sche Identität zeigt mithin, dass sich auch (( W x IF 2 ) Vß 
oder (Vi(W x Wfj) linear durch V x f • •• V q f ausdrückt, womit Satz 1 
bewiesen ist. 
Wir kommen nun zum Nachweis dafür, dass der Klammer 
ausdruck (JJfUf) zweier erweiterter infinitesimaler Transformationen 
Uff und Uff gleich der Erweiterung des Klammerausdruckes (U x Uf) 
zwischen den ursprünglichen Transformationen U x f und U 2 f ist. Man 
könnte den Nachweis direct führen, indem man (UfUf) wirklich be 
rechnete und zeigte, dass dieser Ausdruck die Erweiterung von {U 1 Uf) 
ist. Aber das erfordert ausserordentlich lange Formeln. Deshalb 
schlagen wir einen kürzeren Weg ein, indem wir ein Verfahren be 
nutzen, das freilich zunächst wie ein Kunstgriff aussieht, während es 
in Wirklichkeit nur ein specieller Fall einer allgemeinen Methode ist*). 
*) Insbesondere sei bemerkt, dass man in dieser Weise eine wesentlich ein 
fachere Begründung der Theorie der Differentialinvarianten als in Lie’s „Theorie 
der Transformationsgruppen“, Abschn. I, bearbeitet unter Mitwirkung von Engel, 
Leipzig 1888, geben kann.