"Erweiterung eines Klammerausdruckes. 
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An dieser Stelle wollen wir den früher versprochenen rein analytischen^!® 1 '*^' 
Beweis dafür führen, dass, wenn u die Invariante und v eine Differential- dass 
invariante erster Ordnung von Uf ist, alsdann 3— eine Differential- L 
ÜU wemiUu=0, 
invariante zweiter Ordnung von Uf d. h. 00=0 ist. 
(!)=»• 
u' 
idv\ 
\ dü) 
0 
ist. (Vgl. § 5 des 16. Kap.) 
Da u frei von y ist, so ist wegen Uu = 0 auch U'u EEE 0, anderer 
seits ist U'v = 0, also auch 
U'(v — ßu) EEE 0, 
wo a eine beliebige Constante bedeutet. Wir bilden nun 
dv + v y tf + V yV" 
du u x u y y 
und setzen wie oben 
Bf = K 4. j £l s’f=—+v~ + y" K 
' dx ' ^ dy' ’ dx ' ^ 7)r “ ' J ’ 
dy' 
dy 
dy 
sodass 
dv 
du 
B'v 
B u 
wird. Nun ist 
Bu - U’\B'v) — B'v ■ V"(Bu) 
{Buy 
- B'l • B'f— 0 
df 
dy 
df 
df_ 
dy" 
Nach dem Obigen aber ist 
ü"{B'f) - B'(U"f) = {TJ"B') 
oder, da | gar nicht y enthält: 
V'\B'f) - B\U”f) = — Bi ■ B'f - < iy .. 
Dementsprechend war auch 
u\Bf) - B(n'f) = - Bi ■ Bf— e Sy . 
Also ist, wenn hierin v und u für f eingesetzt werden: 
U"{B'v) = B\U'-'v) — Bl- B'v, 
U' (Bu) eee B (ZJ'u) — Bl • Bu, 
oder, da ü"v EEE U'v EEE 0, U'u EE Uu EEE 0 und U {Bif) = U (Bu) ist: 
U"{B'v) = — Bl- B'v, ü'\Bu) = — Bl- Bu 
und demnach wird nunmehr: 
¡dv\ — Bu • Bl ■ B’v -f- B'v ■ Bl • Bu 
\du/ 
U' 
{Buf 
0, 
dv 
was zu beweisen war. -5— ist also in der That Differentialinvariante 
du 
zweiter Ordnung.