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Kapitel 17, § 2. 
§ 2. Differentialgleichungen zweiter Ordnung in x, y, welche 
mehrere infinitesimale Transformationen gestatten. 
Angenommen, die vorgelegte Differentialgleichung zweiter Ordnung: 
y — ca{x, y, y) = 0 
gestatte mehrere infinitesimale Punkttransformationen U x f, U 2 f, U 3 f •••. 
Dies deckt sich nach Satz 7 des § 3, 16. Kapitel, damit, dass die 
lineare partielle Differentialgleichung in x, y, y: 
A f= H + y % + a ( x ’ y> F? ^ 0 
die einmal erweiterten infinitesimalen Transformationen Uff, Uff 
Uff • • • gestattet. Dies wieder findet nach Theorem 29 (§ 2 des 
15. Kapitels) seinen Ausdruck darin, dass Relationen bestehen von der 
Form; 
{Uf Ä) = Q 1 Af, (UfA) = Q 2 Af, •••, 
wo p 1; • • • irgendwelche Functionen der Veränderlichen bedeuten. 
Hiernach ist aber auch, wenn c x , c 2 ■ - ■ Constanten bezeichnen: 
( c iUff + c 2 Uff -f- • • •, A/■) = (c x q x + c 2 q 2 -{- • • •)Af, 
d, h. die Gleichung Af — 0 gestattet auch die infinitesimale Trans- 
formation 
c i U 1 'f+c 2 U'f+---. 
Wir hoben dies schon früher gelegentlich hervor (vgl. § 3 des 15. Ka 
pitels), Eine infinitesimale Transformation TJ’f nun, die sich linear 
mit constanten Coefficienteu aus einer Anzahl von infinitesimalen Trans 
formationen Uff, Uff • • • zusammensetzt: 
U'f = c x Uff -j- c 2 Uff + • • •, 
haben wir als von Uff, Uff • • • abhängig bezeichnet (vgl S. 233). 
Demnach können wir sagen, dass Af = 0 alle von Uff, Uff••• ab 
hängigen infinitesimalen Transformationen 
U’f = c x Uff + c 2 Uff A 
gestattet. Eine solche ist aber die Erweiterung einer Punkttrans 
formation 
Uf=c x U x fA- c 2 U 2 fA---; 
und so folgt rückwärts, dass die vorgelegte Differentialgleichung 
y" — co{x,y, y) = 0 
auch Uf, d. h. jede von U x f, ü 2 f • • • abhängige infinitesimale Trans 
formation gestattet. 
Satz 5: Gestattet eine Differentialgleichung zweiter Ordnung in x, y