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Kapitel 17, §§ 2, 3. 
statten. Sind diese von U x f, U 2 f, U s f unabhängig, so haben wir 
neue infinitesimale Transformationen TJ±f, U 6 f der Gleichung gefun 
den u. s. w. 
Man sieht, dass man unter Umständen aus zwei bekannten infini 
tesimalen Transformationen einer Differentialgleichung zweiter Ordnung 
durch Differentiationsprocesse eine Reihe weiterer infinitesimaler Trans 
formationen derselben herleiten kann, die nicht von den ursprünglichen 
und von einander abhängig sind. 
Ein Beispiel wollen wir hierfür angeben. 
Beispiel: Wir haben schon in § 6 des 16. Kapitels ausgerechnet, 
dass 
y" = 0 
acht von einander unabhängige infinitesimale Transformationen ge 
stattet. So gestattet sie z. B. diese beiden: 
wovon man sich auch direct überzeugen kann. Denn bei U x f hat y 
das Increment dy = y'dt, d. h. y" das Increment dy" — y"dt. Es 
verschwindet also vermöge y" = 0. Bei U 2 f ist dy = (y — %y)dt, 
daher dy" = — 3xy' dt, d. h. auch gleich Null vermöge y" — 0. Durch 
Klammeroperation leiten wir nun aus ü x f und U 2 f die infinitesimale 
Transformation ab: 
a/EEE(ü 1 D a ) = 2*|i + ( ! ,-l)|i, 
die von U x f und U 2 f unabhängig ist. In der That ist hier wegen 
dy' = — y dt auch dy" — — Sy"dt, d. h. dy" = 0 vermöge y" = 0. 
U z f lässt also wirklich die Differentialgleichung y" — 0 invariant. 
Wir bilden nun: 
lV=(DiDa = s|£ + |£, 
wo dy = 0, dy" — 0 ist, und 
UJ= (U,U,) = -2x‘§£ + (!+*- 2*y) ff 
Dies ürj kann auch durch das kürzere: 
uj= U„f+2U 2 f=^ + x)li 
ersetzt werden. Wirklich ist wegen dy' = dt auch dy"= 0, u. s. w.