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Kapitel 17, § 4. 
§ 4. Gruppen von infinitesimalen Transformationen und ihre zwei 
gliedrigen Untergruppen. 
Aus unserem Theorem 39 folgt, dass eine Differentialgleichung 
zweiter Ordnung nur r 8 von einander unabhängige infinitesimale 
Transformationen U x f, U 2 f • • • U r f gestatten kann, d. h. dass jede in 
finitesimale Transformation, welche sie zulässt, linear mit constanten 
Coefficienten durch U x f, ü 2 f • • • U r f ausdrückbar sein muss. Nach 
Theorem 38 (§ 2) gestattet sie aber auch jeden Klammerausdruck 
(JJiUjc). Diese Klammerausdrücke müssen demnach die Form haben; 
r 
{Ui U k ) = 2 C'ksUsf 
i 
(?, k = 1, 2 • • • r). 
Es liegen demnach r von einander unabhängige infinitesimale 
Transformationen U x f • • • U r f unserer Gleichung vor, sodass die all 
gemeinste infinitesimale Transformation derselben sich linear mit con 
stanten Coefficienten durch diese r ausdrückt, und dass jeder Ausdruck 
(UiUk) sich ebenfalls in dieser Weise darstellt. 
Hiermit werden wir zu einem wichtigen neuen Begriff geführt, den 
wir sogleich in voller Allgemeinheit (ohne Rücksicht auf die Zahl der 
Veränderlichen und die Grenze r 8) definieren wollen: 
G infiniteli- n Stehen r von einander unabhängige infinitesimale Transformationen 
formationen'^i^ ^2f ' ’ ’ ^rf in solchen Beziehungen zu einander, dass jedes {USJf) 
sich linear mit constanten Coefficienten durch U x f • • • U r f ausdrückt: 
r 
- TJ t {Uif) - ^ ca. U.f 
1 
(», Je = 1, 2 • • • r, c^ s — Gongt.), 
so nennen wir den Inbegriff dieser infinitesimalen Transformationen und 
der von ihnen abhängigen, d. h. aus ihnen linear mit constanten Coeffi 
cienten zusammensetzbaren infinitesimalen Transformationen eine r-glied- 
rige Gruppe von infinitesimalen Transformationen*). 
*) Der im Texte gegebene Begriff einer Gruppe von infinitesimalen Trans 
formationen wurde ausdrücklich und in voller Allgemeinheit eingeführt am Schlüsse 
der Abhandlung: Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransfor 
mationen von Sophus Lie, Math. Ann. Bd. 8. Die Identität dieses Begriffes 
mit dem Begriffe einer endlichen continuierlichen Transformationsgruppe wurde 
in dön Göttinger Nachrichten, December 1874, angegeben. Im Übrigen findet 
man in den Verhandlungen der Gesellsch. d. W. zu Christiauia für 1870, 71, 72 
und 73, sowie in den Math. Annalen Bd. 5 mehrere specielle Anwendungen der 
beiden besprochenen Begriffe.